Теорема Лейбніца про збіжність знакозмінних рядів

Шаблон:Не плутати Шаблон:Числення Теорема Лейбніца (ознака Лейбніца, правило Лейбніца або критерій Лейбніца)  — теорема у математичному аналізі доведена Готфрідом Лейбніцем, що дає достатні умови збіжності знакопереміжнного ряду зі спадаючими членами за абсолютним значенням.

Твердження

Якщо послідовність $\{|a_n|\}$ спадає монотонноШаблон:Ref і $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n=0$, тобто:

1. $0<a_{n+1}<a_n;$
2. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0,$

то знакопереміжний ряд є збіжним.

Доведення

Нехай задано ряд вигляду $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}{a}_n$, де $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n=0$ і $a_n\ge a_{n+1}$ для усіх $n\in \mathbb{N}$. (Випадок $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n$ випливає з цього доведення, якщо вибрати від'ємні члени.)

Доведення збіжності

Доведемо, що обидві часткові суми $S_{2m+1}=\sum _{n=1}^{2m+1}(-1{)}^{n-1}{a}_n$ з непарною кількістю елементів та $S_{2m}=\sum _{n=1}^{2m}(-1{)}^{n-1}{a}_n$ з парною кількістю, збігаються до одного і того ж значення $L$. Тоді звичайна часткова сума $S_k=\sum _{n=1}^k(-1{)}^{n-1}{a}_n$ також збігається до $L$.

Непарні часткові суми спадають монотонно

$S_{2(m+1)+1}=S_{2m+1}-a_{2m+2}+a_{2m+3}\le S_{2m+1},$

у той час як парні часткові суми зростають монотонно

$S_{2(m+1)}=S_{2m}+a_{2m+1}-a_{2m+2}\ge S_{2m}.$

Обидва випадки виконуються тому, що значення $a_n$ зменшується монотонно із збільшенням $n$.

Запишемо часткову суму парного порядку так:

$S_{2m}=\sum _{n=1}^{2m}(-1{)}^{n-1}{a}_n=(a_1-a_2)+(a_3-a_4)+\dots +(a_{2n-1}-a_{2n}).$

Оскільки всі доданки в дужках більші нуля, то послідовність $S_{2m}$ є зростаючою. З іншого боку можна записати:

$S_{2m}=a_1-(a_2-a_3)-(a_4-a_5)-\dots -(a_{2n-2}-a_{2n-1})-a_{2n},$

тобто $S_{2m}<a_1$.

Запишемо часткову суму парного порядку так:

$S_{2N}=\sum _{n=1}^{2N}(-1{)}^{n-1}{a}_n=(a_1-a_2)+(a_3-a_4)+\dots +(a_{2N-1}-a_{2N}),$

Оскільки всі доданки в дужках більші нуля, то послідовність $S_{2N}$ є зростаючою. З іншого боку можна записати:

$S_{2N}=a_1-(a_2-a_3)-(a_4-a_5)-\dots -(a_{2N-2}-a_{2N-1})-a_{2N},$

тобто $S_{2N}<a_1$.

Отже, послідовність парних часткових сум є обмеженою і зростаючою, а значить збіжною. Для непарних часткових сум маємо: $S_{2m+1}=S_{mn}-a_{2n}$ і оскільки $a_{2n}$ збігається до нуля, границя $S_{2m+1}$ існує і рівна границі $S_{2m}$. Дане число і буде сумою ряду.

Крім того, оскільки $a_n$ — додатні, то $S_{2m+1}-S_{2m}=a_{2n+1}\ge 0$. Таким чином, використовуючи ці факти, можемо сформулювати наступну послідовність нерівностей

$a_1-a_2=S_2\le S_{2m}\le S_{2m+1}\le S_1=a_1.$

Зауважимо, що число $a_1-a_2$ є нижньою межею монотонно спадаючої послідовності $S_{2m+1}$. Тоді з теореми Леві про монотонну збіжність випливає, що ця послідовність є збіжною при прямуванні $m$ до нескінченності. Збіжність послідовність парних часткових суми доводиться аналогічно.

Отже, вони збігаються до того ж числа, оскільки

$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }(S_{2m+1}-S_{2m})=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{2m+1}=0.$

Позначимо границю як $L$, тоді теорема про монотонну збіжність додатково дає нам, що

$S_{2m}\le L\le S_{2m+1}$

для будь-якого $m$. Це означає, що часткові суми знакопереміжного ряду також ``чергуються вище і нижче фінальної границі. Точніше, коли є непарна (парна) кількість членів, тобто останній член є додатнім (від'ємним), тоді часткова сума знаходиться вище (нижче) кінцевої границі.

Це розуміння негайно приводить до оцінки залишку часткових сум як показано нижче.

Доведення для оцінки залишку часткових сум

Покажемо, що $|S_k-L|\le a_{k+1}$, розглянувши два випадки.

Якщо $k=2m+1$, тобто непарне, то

$|S_{2m+1}-L|=S_{2m+1}-L\le S_{2m+1}-S_{2m+2}=a_{(2m+1)+1}.$

Якщо $k=2m$, тобто парне, то

$|S_{2m}-L|=L-S_{2m}\le S_{2m+1}-S_{2m}=a_{2m+1}.$

Обидва випадки суттєво використовують останню нерівність, яку було отримано в попередньому доведенні.

Для альтернативного доведення використовують ознаку збіжності Коші, дивись знакопереміжний ряд.

Для узагальнення дивися ознаку Діріхле.

Наслідок

З теорем Лейбніца можна оцінити похибку обчислення суми ряду:

$S_n=\sum _{m=0}^n{a}_m.$

Залишок ряду $R_n=S-S_n$ за модулем буде менше першого відкинутого доданку:

$\left|R_n\right|<\left|a_{n+1}\right|.$

Контрприклад

Усі умови ознаки, а саме збіжність до $0$ і монотонність, мають виконуватися для того, щоб висновок був справедливим. Наприклад, розглянемо ряд

$\frac{1}{\sqrt{2}-1}-\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}-1}-\frac{1}{\sqrt{3}+1}+\cdots .$

Знаки чергуються, а елементи прямують до нуля. Однак монотонність відсутня, що не дозволяє застосувати ознаку. Насправді ряд є розбіжним. Дійсно, для часткових сум $S_{2n}$ маємо $S_{2n}=\frac{2}{1}+\frac{2}{2}+\frac{2}{3}+\cdots +\frac{2}{n-1}$, що є подвоєною частковою сумою гармонічного ряду, який є розбіжним. Таким чином, початковий ряд є розбіжним. Що й треба було довести.

Див. також

• Знакопереміжний ряд
• Ознака Діріхле

Примітки

Шаблон:NoteНа практиці перші декілька членів можуть зростати. Важливо те, що $a_n\ge a_{n+1}$ для усіх $n$, починаючи з деякого номера.

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Konrad Knopp (1956) Infinite Sequences and Series, § 3.4, Dover Publications Шаблон:ISBN
• Konrad Knopp (1990) Theory and Application of Infinite Series, § 15, Dover Publications Шаблон:ISBN
• E. T. Whittaker & G. N. Watson (1963) A Course in Modern Analysis, 4th edition, §2.3, Cambridge University Press Шаблон:ISBN
• Шаблон:Клепко ВМ
• Шаблон:MathWorld