Ознака Діріхле

Шаблон:Числення Ознака Діріхле — в математиці одна із ознак збіжності ряду, названа на честь німецького математика Діріхле.

Твердження і доведення

Нехай виконуються такі умови:

Послідовність $B_{n} = \sum_{k = 1}^{n} b_{k}$ обмежена, тобто $\exists M > 0 : | B_{n} | ⩽ M \forall n \in ℕ$ .
$a_{n} ⩾ a_{n + 1} \forall n \in ℕ$ .
$\lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ .

Тоді ряд $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ є збіжним.

Доведення

Із збіжності $a_{n}$ до нуля маємо, що для будь-якого $ε > 0$ існує $N \in ℕ,$ що $a_{n} < ε$ виконується для всіх $n > N$ . Т

Також:

$\sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} (B_{k} - B_{k - 1}) = \sum_{k = 1}^{n - 1} B_{k} (a_{k} - a_{k + 1}) + a_{n} B_{n}$

Оскільки $a_{n} ⩾ a_{n + 1} \forall n \in ℕ$ то також :

| \sum_{k = 1}^{n - 1} B_{k} (a_{k} - a_{k + 1}) | ⩽ \sum_{k = 1}^{n - 1} | B_{k} | (a_{k} - a_{k + 1}) ⩽ M \sum_{k = 1}^{n - 1} (a_{k} - a_{k + 1}) = M (a_{1} - a_{n})

Відповідно ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} B_{k} (a_{k} - a_{k + 1})$ є абсолютно збіжним і ряд $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ збіжним оскільки його часткові суми відрізняються на $a_{n} B_{n}$ , що прямує до нуля.

Приклади застосування

Нехай $a_{n} ⩾ a_{n + 1} \forall n \in ℕ$ є монотонною послідовністю і $\lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ . Якщо взяти $b_{i} = (- 1)^{i - 1}$ то із ознаки Діріхле випливає збіжність ряду $\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} a_{n} = a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + \dots$ . Таким чином теорема Лейбніца про збіжність знакозмінних рядів є наслідком теореми Діріхле.
Якщо $a_{n}$ є монотонно спадною і $\lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ . Нехай тепер $b_{j} = \cos j x$ і $b_{j} = \sin j x$ де дійсне число $x \neq 2 π m, m \in ℤ .$ Згідно елементарних тригонометричних тотожностей:

2 \sin j x \sin \frac{1}{2} x = \cos (j - \frac{1}{2}) x - \cos (j + \frac{1}{2}) x

2 \cos j x \sin \frac{1}{2} x = \sin (j + \frac{1}{2}) x - \sin (j - \frac{1}{2}) x

Таким чином:

\sum_{j = 1}^{n} \cos j x = \frac{\cos \frac{1}{2} x - \cos \frac{3}{2} x + \cos \frac{3}{2} x - \cos \frac{5}{2} x + \dots - \cos (n + \frac{1}{2}) x}{2 \sin \frac{1}{2} x} = \frac{\cos \frac{1}{2} x - \cos (n + \frac{1}{2}) x}{2 \sin \frac{1}{2} x}

\sum_{j = 1}^{n} \sin j x = \frac{- \sin \frac{1}{2} x + \sin \frac{3}{2} x - \sin \frac{3}{2} x + \sin \frac{5}{2} x - \dots + \sin (n + \frac{1}{2}) x}{2 \sin \frac{1}{2} x} = \frac{- \sin \frac{1}{2} x + \sin (n + \frac{1}{2}) x}{2 \sin \frac{1}{2} x}

Із цих формул одержується, що всі суми

\sum_{j = 1}^{n} \cos j x

і

\sum_{j = 1}^{n} \sin j x

за абсолютним значенням є обмеженими числом

\frac{1}{| \sin \frac{x}{2} |} .

Відповідно згідно ознаки Діріхле ряди

\sum_{j = 1}^{\infty} a_{j} \cos j x

і

\sum_{j = 1}^{\infty} a_{j} \sin j x

є збіжними.

Конкретними прикладами таких рядів є

\sum_{j = 1}^{\infty} \frac{\cos j x}{j}

і

\sum_{j = 1}^{\infty} \frac{\sin j x}{j} .

Оскільки комплексне число

z

для якого

| z | = 1

можна записати як

z = \cos x + \sin x \cdot i

і

z^{j} = \cos j x + \sin j x \cdot i

, то із збіжності цих рядів випливає збіжність комплексного ряду

\sum_{j = 1}^{\infty} \frac{z^{j}}{j}

для

| z | = 1

і

z \neq 1 .