Список тригонометричних тотожностей

Шаблон:Тригонометрія Тригонометричні тотожності — математичні вирази з тригонометричними функціями, що виконуються для всіх значень аргумента зі спільної області визначення.

Основні позначення

Кути

В цій статті кути позначені грецькими буквами $α, β, γ$ і т. д. Величину кута найчастіше задають в градусах або радіанах:

1 повне коло = 360 градусів = 2

π

радіан

В наступній таблиці наведено спвівідношення між значеннями в градусах і радіанах для деяких кутів

Градуси	30°	60°	120°	150°	210°	240°	300°	330°
Радіани	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{5 π}{6}$	$\frac{7 π}{6}$	$\frac{4 π}{3}$	$\frac{5 π}{3}$	$\frac{11 π}{6}$

Градуси	45°	90°	135°	180°	225°	270°	315°	360°
Радіани	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{3 π}{4}$	$π$	$\frac{5 π}{4}$	$\frac{3 π}{2}$	$\frac{7 π}{4}$	$2 π$

Якщо не сказано інакше, то всі кути задано у радіанах, а кути, що закінчуються символом (°) — в градусах.

Тригонометричні функції

Шаблон:Main У статті будуть наведені співвідношення та тотожності для шести основних тригонометричних функцій:

синус $\sin α,$
косинус $\cos α,$
тангенс $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}, α \neq \frac{π}{2} + π n, n \in ℤ,$

котангенс $ctg α = \frac{\cos α}{\sin α}, α \neq π n, n \in ℤ,$

секанс $\sec α = \frac{1}{\cos α}, α \neq \frac{π}{2} + π n, n \in ℤ,$

косеканс $\csc α = \frac{1}{\sin α}, α \neq π n, n \in ℤ,$

В англомовній літературі тангенс та котангенс зазвичай позначають $\tan α$ та $\cot α,$ відповідно.

Обернені тригонометричні функції

Шаблон:Main

Обернені тригонометричні функції це такі функції, композиція яких зі звичайними тригонометричними функціями дає тотожне відображення. Наприклад, функція обернена до синуса, відома як обернений синус (sin⁻¹) або арксинус (arcsin or asin), задовольняє співвідношення

\sin (\arcsin x) = x, | x | \leq 1

та

\arcsin (\sin x) = x, | x | \leq \frac{π}{2} .

Тригонометричні функції та обернені до них наведені в наступній таблиці:

Функція	sin	cos	tg	ctg	sec	csc
Обернена	arcsin	arccos	arctg	arcctg	arcsec	arccsc

Екзотичні тригонометричні функції

Шаблон:Main Крім основних шести, також використовують інші тригонометричні функції кута. Їх використовували раніше при розв'язуванні різних навігаційних задач, однак з розвитком обчислювальної техніки вони втратили свою актуальність.

Назва	Скорочене позн.	Значення
синус-верзус	$versin (θ)$ $vers (θ)$ $ver (θ)$	$1 - \cos (θ)$
косинус-верзус	$vercosin (θ)$	$1 + \cos (θ)$
коверсинус	$coversin (θ)$ $cvs (θ)$	$1 - \sin (θ)$
коверкосинус	$covercosin (θ)$	$1 + \sin (θ)$
гаверсинус	$haversin (θ)$	$\frac{1 - \cos (θ)}{2}$
гаверкосинус	$havercosin (θ)$	$\frac{1 + \cos (θ)}{2}$
когаверсинус	$hacoversin (θ)$	$\frac{1 - \sin (θ)}{2}$
когаверкосинус	$hacovercosin (θ)$	$\frac{1 + \sin (θ)}{2}$
ексеканс	$exsec (θ)$	$\sec (θ) - 1$
екскосеканс	$excsc (θ)$	$\csc (θ) - 1$
хорда	$crd (θ)$	$2 \sin \frac{θ}{2}$

Таблиці значень тригонометричних функцій

Значення тригонометричних функцій для найпоширеніших значень кутів (в радіанах)
	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{3 π}{4}$	$\frac{5 π}{6}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$
$\sin α =$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- 1$
$\cos α =$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{\sqrt{2}}{2}$	$- \frac{\sqrt{3}}{2}$	$- 1$	$0$
$tg α =$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$\pm \infty$	$- \sqrt{3}$	$- 1$	$- \frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$\pm \infty$
$ctg α =$	$\pm \infty$	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$- \frac{\sqrt{3}}{3}$	$- 1$	$- \sqrt{3}$	$\pm \infty$	$0$

В тих точках, де значення тангенса та котангенса прямують до нескінченності знак залежить від того з якого боку до цієї точки ми підходимо.

Для тангенса — якщо справа, то $+ \infty$ , а якщо зліва, то $- \infty$ . Для котангенса навпаки.

Значення тригонометричних функцій для деяких кутів
	$\frac{π}{16}$	$\frac{π}{15}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{10}$	$\frac{π}{8}$	$\frac{π}{5}$
$\sin α =$	$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}{2}$	$\frac{\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}} + \sqrt{3} (1 - \sqrt{5})}{8}$	$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$	$\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$	$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$	$\sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{8}}$
$\cos α =$	$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}{2}$	$\frac{\sqrt{3} \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}} + \sqrt{5} - 1}{8}$	$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$	$\sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{8}}$	$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{5} + 1}{4}$

Основні тригонометричні формули

Основні формули
$\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$	(1)
${tg}^{2} α + 1 = \frac{1}{\cos^{2} α} = \sec^{2} α$	(2)
${ctg}^{2} α + 1 = \frac{1}{\sin^{2} α} = \csc^{2} α$	(3)

Формула (1) є наслідком теореми Піфагора (Тригонометрична тотожність Піфагора). Формули (2) і (3) добуваються діленням формули (1) на $\cos^{2} α$ та $\sin^{2} α$ відповідно.

Співвідношення між основними тригонометричними функціями

Кожна з тригонометричних функцій виражена через п'ять інших.
	$\sin α$	$\cos α$	$tg α$	$\csc α$	$\sec α$	$ctg α$
$\sin α =$	$\sin α$	$\pm \sqrt{1 - \cos^{2} α}$	$\pm \frac{tg α}{\sqrt{1 + {tg}^{2} α}}$	$\frac{1}{\csc α}$	$\pm \frac{\sqrt{\sec^{2} α - 1}}{\sec α}$	$\pm \frac{1}{\sqrt{1 + {ctg}^{2} α}}$
$\cos α =$	$\pm \sqrt{1 - \sin^{2} α}$	$\cos α$	$\pm \frac{1}{\sqrt{1 + {tg}^{2} α}}$	$\pm \frac{\sqrt{\csc^{2} α - 1}}{\csc α}$	$\frac{1}{\sec α}$	$\pm \frac{ctg α}{\sqrt{1 + {ctg}^{2} α}}$
$tg α =$	$\pm \frac{\sin α}{\sqrt{1 - \sin^{2} α}}$	$\pm \frac{\sqrt{1 - \cos^{2} α}}{\cos α}$	$tg α$	$\pm \frac{1}{\sqrt{\csc^{2} α - 1}}$	$\pm \sqrt{\sec^{2} α - 1}$	$\frac{1}{ctg α}$
$\csc α =$	$\frac{1}{\sin α}$	$\pm \frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} α}}$	$\pm \frac{\sqrt{1 + {tg}^{2} α}}{tg α}$	$\csc α$	$\pm \frac{\sec α}{\sqrt{\sec^{2} α - 1}}$	$\pm \sqrt{1 + {ctg}^{2} α}$
$\sec α =$	$\pm \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} α}}$	$\frac{1}{\cos α}$	$\pm \sqrt{1 + {tg}^{2} α}$	$\pm \frac{\csc α}{\sqrt{\csc^{2} α - 1}}$	$\sec α$	$\pm \frac{\sqrt{1 + {ctg}^{2} α}}{ctg α}$
$ctg α =$	$\pm \frac{\sqrt{1 - \sin^{2} α}}{\sin α}$	$\pm \frac{\cos α}{\sqrt{1 - \cos^{2} α}}$	$\frac{1}{tg α}$	$\pm \sqrt{\csc^{2} α - 1}$	$\pm \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} α - 1}}$	$ctg α$

Формули зведення

Сукупність формул, що відображають симетрію тригонометричних функцій відносно певних значень кутів, перетворення при зсуві аргументу на деякий кут, а також періодичність тригонометричних функцій.

Симетрія

Виконуються такі співвідношення:

Симетрія відносно кута $α = 0$	Симетрія відносно $α = π / 2$ (співвідношення між ко-функціями)	Симетрія відносно $α = π$
$\begin{matrix} \sin (- α) & = - \sin α \\ \cos (- α) & = + \cos α \\ tg (- α) & = - tg α \\ \csc (- α) & = - \csc α \\ \sec (- α) & = + \sec α \\ ctg (- α) & = - ctg α \end{matrix}$	$\begin{matrix} \sin (\frac{π}{2} - α) & = + \cos α \\ \cos (\frac{π}{2} - α) & = + \sin α \\ tg (\frac{π}{2} - α) & = + ctg α \\ \csc (\frac{π}{2} - α) & = + \sec α \\ \sec (\frac{π}{2} - α) & = + \csc α \\ ctg (\frac{π}{2} - α) & = + tg α \end{matrix}$	$\begin{matrix} \sin (π - α) & = + \sin α \\ \cos (π - α) & = - \cos α \\ tg (π - α) & = - tg α \\ \csc (π - α) & = + \csc α \\ \sec (π - α) & = - \sec α \\ ctg (π - α) & = - ctg α \end{matrix}$

Зсув та періодичність

Співвідношення часто використовують для спрощення обчислень.

Зсув на π/2	Зсув на π Період tg і ctg	Зсув на 2π Період sin, cos, csc і sec
$\begin{matrix} \sin (α + \frac{π}{2}) & = + \cos α \\ \cos (α + \frac{π}{2}) & = - \sin α \\ t g (α + \frac{π}{2}) & = - ctg α \\ \csc (α + \frac{π}{2}) & = + \sec α \\ \sec (α + \frac{π}{2}) & = - \csc α \\ c t g (α + \frac{π}{2}) & = - tg α \end{matrix}$	$\begin{matrix} \sin (α + π) & = - \sin α \\ \cos (α + π) & = - \cos α \\ t g (α + π) & = + tg α \\ \csc (α + π) & = - \csc α \\ \sec (α + π) & = - \sec α \\ c t g (α + π) & = + ctg α \end{matrix}$	$\begin{matrix} \sin (α + 2 π) & = + \sin α \\ \cos (α + 2 π) & = + \cos α \\ t g (α + 2 π) & = + tg α \\ \csc (α + 2 π) & = + \csc α \\ \sec (α + 2 π) & = + \sec α \\ c t g (α + 2 π) & = + ctg α \end{matrix}$

Формули для суми аргументів

Формули для суми аргументів
$\sin (α \pm β) = \sin α \cos β \pm \cos α \sin β$	(5)
$\cos (α \pm β) = \cos α \cos β \mp \sin α \sin β$	(6)
$t g (α \pm β) = \frac{t g α \pm t g β}{1 \mp t g α t g β}$	(7)
$ctg (α \pm β) = \frac{c t g α c t g β \mp 1}{c t g α \pm c t g β}$

Формула (7) отримана діленням (5) на (6).

Синус і косинус від нескінченної суми

\sin (\sum_{i = 1}^{\infty} α_{i}) = \sum_{k = 0}^{\infty} (- 1)^{k} \sum_{\begin{matrix} A \subseteq {1, 2, 3, \dots} \\ | A | = 2 k + 1 \end{matrix}} (\prod_{i \in A} \sin α_{i} \prod_{i \in̸ A} \cos α_{i}),

\cos (\sum_{i = 1}^{\infty} α_{i}) = \sum_{k = 0}^{\infty} (- 1)^{k} \sum_{\begin{matrix} A \subseteq {1, 2, 3, \dots} \\ | A | = 2 k \end{matrix}} (\prod_{i \in A} \sin α_{i} \prod_{i \in̸ A} \cos α_{i}) .

У правих частинах рівності суму взято по всіх підмножинах натуральних чисел з 2k+1 або 2k елементів відповідно.

Тангенси від сум аргументів

Нехай $e_{k} = e_{k} (x_{1}, \dots, x_{n}), k = 0, 1, 2, \dots, n = 1, 2, 3 \dots,$ — елементарні симетричні многочлени степеня k від n змінних

x_{i} = tg α_{i} i = 1, 2, \dots, n .

Наприклад:

e_{0} = 1,

e_{1} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} = \sum_{i} tg α_{i},

e_{2} = \sum_{1 \leq i < j \leq n} x_{i} x_{j} = \sum_{i < j} tg α_{i} tg α_{j},

e_{3} = \sum_{1 \leq i < j < k \leq n} x_{i} x_{j} x_{k} = \sum_{i < j < k} tg α_{i} tg α_{j} tg α_{k} .

Тоді

tg (\sum_{i = 1}^{2 k} α_{i}) = \frac{e_{1} - e_{3} + e_{5} - \dots + (- 1)^{k + 1} e_{2 k - 1}}{e_{0} - e_{2} + e_{4} - \dots + (- 1)^{k} e_{2 k}} = \frac{\sum_{i = 1}^{k} (- 1)^{i + 1} e_{2 i - 1}}{\sum_{i = 0}^{k} (- 1)^{i} e_{2 i}},

tg (\sum_{i = 1}^{2 k + 1} α_{i}) = \frac{e_{1} - e_{3} + e_{5} - \dots + (- 1)^{k} e_{2 k + 1}}{e_{0} - e_{2} + e_{4} - \dots + (- 1)^{k} e_{2 k}} = \frac{\sum_{i = 1}^{k} (- 1)^{i} e_{2 i + 1}}{\sum_{i = 0}^{k} (- 1)^{i} e_{2 i}} .

Наприклад:

\begin{matrix} t g (α_{1} + α_{2}) & = \frac{e_{1}}{e_{0} - e_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{1 - x_{1} x_{2}} = \frac{t g α_{1} + t g α_{2}}{1 - t g α_{1} t g α_{2}}, \\ t g (α_{1} + α_{2} + α_{3}) & = \frac{e_{1} - e_{3}}{e_{0} - e_{2}} = \frac{(x_{1} + x_{2} + x_{3}) - (x_{1} x_{2} x_{3})}{1 - (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3})} = \frac{t g α_{1} + t g α_{2} + t g α_{3} - t g α_{1} t g α_{2} t g α_{3}}{1 - (t g α_{1} t g α_{2} + t g α_{1} t g α_{3} + t g α_{2} t g α_{3})}, \\ t g (α_{1} + α_{2} + α_{3} + α_{4}) & = \frac{e_{1} - e_{3}}{e_{0} - e_{2} + e_{4}} \\ = \frac{(x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}) - (x_{1} x_{2} x_{3} + x_{1} x_{2} x_{4} + x_{1} x_{3} x_{4} + x_{2} x_{3} x_{4})}{1 - (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{1} x_{4} + x_{2} x_{3} + x_{2} x_{4} + x_{3} x_{4}) + (x_{1} x_{2} x_{3} x_{4})} \end{matrix}

і так далі.

Секанс і косеканс від суми аргументів

\begin{matrix} \sec (\sum_{i}^{n} α_{i}) & = \frac{\prod_{i}^{n} \sec α_{i}}{e_{0} - e_{2} + e_{4} - \dots} = \frac{\prod_{i}^{n} \sec α_{i}}{\sum_{0 \leq 2 k \leq n} (- 1)^{k} e_{2 k}} \\ \csc (\sum_{i}^{n} α_{i}) & = \frac{\prod_{i}^{n} \sec α_{i}}{e_{1} - e_{3} + e_{5} - \dots} = \frac{\prod_{i}^{n} \sec α_{i}}{\sum_{1 \leq 2 k + 1 \leq n} (- 1)^{k} e_{2 k + 1}} \end{matrix}

де e_k — елементарні симетричні многочлени степеня k від n змінних (дивись пункт тангенси від сум аргументів)

x_{i} = tg α_{i} i = 1, 2, \dots, n .

Наприклад,

\begin{matrix} \sec (α + β + γ) & = \frac{\sec α \sec β \sec γ}{1 - t g α t g β - t g α t g γ - t g β t g γ}, \\ \csc (α + β + γ) & = \frac{\sec α \sec β \sec γ}{t g α + t g β + t g γ - t g α t g β tg γ} . \end{matrix}

Формули подвійного кута

Формули подвійного кута виведені з формул (5), (6) і (7), якщо взяти кут β рівним α:

Формули подвійного кута
$s i n 2 α = 2 \sin α \cos α$	(23)
$c o s 2 α = \cos^{2} α - \sin^{2} α = 2 \cos^{2} α - 1 = 1 - 2 \sin^{2} α = \frac{1 - {t g}^{2} α}{1 + {t g}^{2} α}$	(24)
$t g 2 α = \frac{2 t g α}{1 - {t g}^{2} α} = \frac{2}{ctg α - tg α}$	(25)
$c t g 2 α = \frac{{c t g}^{2} α - 1}{2 c t g α} = \frac{ctg α - tg α}{2}$

Формули потрійного кута

Формули потрійного кута
$\sin 3 α = 3 \sin α - 4 \sin^{3} α = 4 \sin α \sin (\frac{π}{3} - α) \sin (\frac{π}{3} + α)$
$\cos 3 α = 4 \cos^{3} α - 3 \cos α = 4 \cos α \cos (\frac{π}{3} - α) \cos (\frac{π}{3} + α)$
$tg 3 α = \frac{3 tg α - {tg}^{3} α}{1 - 3 {tg}^{2} α} = t g α tg (\frac{π}{3} - α) tg (\frac{π}{3} + α)$
$ctg 3 α = \frac{3 ctg α - {ctg}^{3} α}{1 - 3 {ctg}^{2} α} = c t g α ctg (\frac{π}{3} - α) ctg (\frac{π}{3} + α)$

Формули кратних кутів

Формули кратних кутів
$\sin (n α) = \sum_{k = 0}^{[n / 2]} (- 1)^{k} (\binom{n}{2 k + 1}) \cos^{n - 2 k - 1} α \sin^{2 k + 1} α$
$\cos (n α) = \sum_{k = 0}^{[n / 2]} (- 1)^{k} (\binom{n}{2 k}) \cos^{n - 2 k} α \sin^{2 k} α$
$t g (n α) = \frac{\sin (n α)}{\cos (n α)} = \frac{\sum_{k = 0}^{[n / 2]} (- 1)^{k} (\binom{n}{2 k + 1}) {tg}^{2 k + 1} α}{\sum_{k = 0}^{[n / 2]} (- 1)^{k} (\binom{n}{2 k}) {tg}^{2 k} α}$
$c t g (n α) = \frac{\cos (n α)}{\sin (n α)} = \frac{\sum_{k = 0}^{[n / 2]} (- 1)^{k} (\binom{n}{2 k}) {ctg}^{n - 2 k} α}{\sum_{k = 0}^{[n / 2]} (- 1)^{k} (\binom{n}{2 k + 1}) {ctg}^{n - 2 k - 1} α}$

де $[n]$ — ціла частина числа $n$ , $(\binom{n}{k})$ — біноміальний коефіцієнт.

Шаблон:Hider

Ітераційні формули

\sin (n + 1) α = 2 \sin α \cos n α + \sin (n - 1) α,

\cos (n + 1) α = 2 \cos α \cos n α + \cos (n - 1) α .

t g (n + 1) α = \frac{t g (n α) + tg α}{1 - t g (n α) tg α} .

c t g (n + 1) α = \frac{c t g (n α) ctg α - 1}{c t g (n α) + ctg α} .

З використанням спеціальних многочленів

Мають місце такі співвідношення:

\cos n α = T_{n} (\cos α), \sin^{2} n α = \frac{1 - T_{n} (1 - 2 \sin^{2} α)}{2},

де $T_{n} (x)$ — поліном Чебишова першого роду степеня n.

Зображення у вигляді скінченних добутків

\sin 2 m α = 2 m \sin α \cos α \prod_{k = 1}^{m - 1} (1 - \frac{\sin^{2} α}{\sin^{2} \frac{π k}{2 m}}), \cos 2 m α = \prod_{k = 1}^{m} (1 - \frac{\sin^{2} α}{\sin^{2} \frac{π (2 k - 1)}{4 m}}), m \in ℕ,

\sin (2 m - 1) α = (2 m - 1) \sin α \prod_{k = 1}^{m - 1} (1 - \frac{\sin^{2} α}{\sin^{2} \frac{π k}{2 m - 1}}), \cos (2 m - 1) α = \cos α \prod_{k = 1}^{m} (1 - \frac{\sin^{2} α}{\sin^{2} \frac{π (2 k - 1)}{2 (2 m - 1)}}), m \in ℕ,

\sin n α = 2^{n - 1} \prod_{k = 0}^{n - 1} \sin (α + \frac{k π}{n}), \cos n α = 2^{n - 1} \prod_{k = 1}^{n} \sin (α + \frac{(2 k - 1) π}{2 n}) .

Формули половинного кута

Формули половинного кута
$\sin \frac{α}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos α}{2}}$
$\cos \frac{α}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos α}{2}}$
$tg \frac{α}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos α}{1 + \cos α}} = \frac{1 - \cos α}{\sin α} = \frac{\sin α}{1 + \cos α}$
$ctg \frac{α}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos α}{1 - \cos α}} = \frac{\sin α}{1 - \cos α} = \frac{1 + \cos α}{\sin α}$

Знак перед виразом обрано відповідно до того, до якого квадранту належить кут $\frac{α}{2}$ .

Формули пониження степеня

Формули пониження степеня виведені з формул подвійного кута:

Синус	Косинус	Інше
$\sin^{2} α = \frac{1 - \cos 2 α}{2}$	$\cos^{2} α = \frac{1 + \cos 2 α}{2}$	$\sin^{2} α \cos^{2} α = \frac{1 - \cos 4 α}{8}$
$\sin^{3} α = \frac{3 \sin α - \sin 3 α}{4}$	$\cos^{3} α = \frac{3 \cos α + \cos 3 α}{4}$	$\sin^{3} α \cos^{3} α = \frac{3 \sin 2 α - \sin 6 α}{32}$
$\sin^{4} α = \frac{3 - 4 \cos 2 α + \cos 4 α}{8}$	$\cos^{4} α = \frac{3 + 4 \cos 2 α + \cos 4 α}{8}$	$\sin^{4} α \cos^{4} α = \frac{3 - 4 \cos 4 α + \cos 8 α}{128}$
$\sin^{5} α = \frac{10 \sin α - 5 \sin 3 α + \sin 5 α}{16}$	$\cos^{5} α = \frac{10 \cos α + 5 \cos 3 α + \cos 5 α}{16}$	$\sin^{5} α \cos^{5} α = \frac{10 \sin 2 α - 5 \sin 6 α + \sin 10 α}{512}$

Загальні формули пониження степеня

Загальні формули пониження степеня
$\sin^{2 n} α = \frac{1}{2^{2 n - 1}} ((\binom{2 n}{n}) + \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{n + k} (\binom{2 n}{k}) \cos 2 (n - k) α)$
$\sin^{2 n + 1} α = \frac{1}{2^{2 n}} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{n + k} (\binom{2 n + 1}{k}) \sin (2 (n - k) + 1) α$
$\cos^{2 n} α = \frac{1}{2^{2 n}} ((\binom{2 n}{n}) + 2 \sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{2 n}{k}) \cos 2 (n - k) α)$
$\cos^{2 n + 1} α = \frac{1}{2^{2 n}} \sum_{k = 0}^{n} (\binom{2 n + 1}{k}) \cos (2 (n - k) + 1) α$

де $(\binom{n}{k})$ — біноміальний коефіцієнт.

Формули перетворення добутків функцій

Формули перетворення добутків функцій
$\sin α \sin β = \frac{\cos (α - β) - \cos (α + β)}{2}$	(28)
$\sin α \cos β = \frac{\sin (α + β) + \sin (α - β)}{2}$	(29)
$\cos α \cos β = \frac{\cos (α + β) + \cos (α - β)}{2}$	(30)
$tg α tg β = \frac{\cos (α - β) - \cos (α + β)}{\cos (α + β) + \cos (α - β)}$
$\cos α \cos β \cos γ = \frac{\cos (α + β + γ) + \cos (α - β + γ) + \cos (α + β - γ) + \cos (β + γ - α)}{4}$	(31)
$\sin α \cos β \cos γ = \frac{\sin (α + β + γ) + \sin (α - β + γ) + \sin (α + β - γ) - \sin (β + γ - α)}{4}$	(32)
$\sin α \sin β \cos γ = \frac{- \cos (α + β + γ) + \cos (α - β + γ) - \cos (α + β - γ) - \cos (β + γ - α)}{4}$	(33)
$\sin α \sin β \sin γ = \frac{- \sin (α + β + γ) + \sin (α - β + γ) + \sin (α + β - γ) + \sin (β + γ - α)}{4}$	(34)

Формули перетворення суми функцій

Формули перетворення суми функцій
$\sin α \pm \sin β = 2 \sin \frac{α \pm β}{2} \cos \frac{α \mp β}{2}$	(35)
$\cos α + \cos β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2}$	(36)
$\cos α - \cos β = - 2 \sin \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2}$	(37)
$t g α \pm t g β = \frac{\sin (α \pm β)}{\cos α \cos β}$	(38)
$c t g α \pm c t g β = \frac{\sin (β \pm α)}{\sin α \sin β}$	(39)
$t g α \pm c t g β = \frac{\pm \cos (α \mp β)}{\cos α \sin β}$	(40)
$t g α + c t g α = \frac{1}{\cos α \sin α} = 2 \csc 2 α$	(41)
$t g α - c t g α = - 2 c t g 2 α$	(42)
$\cos α + \sin α = \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4} - α) = \sqrt{2} \sin (\frac{π}{4} + α)$	(43)
$\cos α - \sin α = \sqrt{2} \sin (\frac{π}{4} - α) = \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4} + α)$	(43)

Загальні суми

$\sum_{k = 1}^{n} \cos (2 k - 1) α = \cos α + \cos 3 α + \cos 5 α + \dots + \cos (2 n - 1) α = \frac{\sin 2 n α}{2 \sin α}, n \geq 1,$

$\sum_{k = 0}^{n} \sin (2 k - 1) α = \sin α + \sin 3 α + \sin 5 α + \dots + \sin (2 n - 1) α = \frac{\sin^{2} n α}{\sin α}, n \geq 1,$

$\sum_{k = 0}^{n} \cos (φ + k α) = \cos φ + \cos (φ + α) + \cos (φ + 2 α) + \dots + \cos (φ + n α) = \frac{\cos (φ + \frac{n α}{2}) \sin \frac{(n + 1) α}{2}}{\sin \frac{α}{2}}, α \neq 0, n \geq 1,$

$\sum_{k = 0}^{n} \sin (φ + k α) = \sin φ + \sin (φ + α) + \sin (φ + 2 α) + \dots + \sin (φ + n α) = \frac{\sin (φ + \frac{n α}{2}) \sin \frac{(n + 1) α}{2}}{\sin \frac{α}{2}}, α \neq 0, n \geq 1 .$

$\sum_{k = 0}^{n} \cos^{2} (k α) = \frac{3 + 2 n + \csc α \sin (2 n + 1) α}{4}, \sum_{k = 0}^{n} \sin^{2} (k α) = \frac{1 + 2 n - \csc α \sin (2 n + 1) α}{4}, n \geq 1,$

$\sum_{k = 1}^{n - 1} k \cos (k α) = \frac{n \sin \frac{2 n - 1}{2} α}{2 \sin \frac{α}{2}} - \frac{1 - \cos n α}{4 \sin^{2} \frac{α}{2}}, \sum_{k = 1}^{n - 1} k \sin (k α) = \frac{\sin n α}{4 \sin^{2} \frac{α}{2}} - \frac{n \cos \frac{2 n - 1}{2} α}{2 \sin \frac{α}{2}}, n \geq 2,$
$\sum_{k = 0}^{n} p^{k} \cos (k α) = \frac{1 - p \cos α - p^{n + 1} \cos (n + 1) α - p^{n + 2} \cos n α}{1 - 2 p \cos α + p^{2}}, n \geq 1,$
$\sum_{k = 0}^{n} p^{k} \sin (k α) = \frac{p \sin α - p^{n + 1} \sin (n + 1) α - p^{n + 2} \sin n α}{1 - 2 p \cos α + p^{2}}, n \geq 1 .$

Якщо ж $p$ таке, що $| p | < 1$ , то при $n \to \infty$ отримуємо

$\sum_{k = 0}^{\infty} p^{k} \cos (k α) = \frac{1 - p \cos α}{1 - 2 p \cos α + p^{2}}, \sum_{k = 0}^{\infty} p^{k} \sin (k α) = \frac{p \sin α}{1 - 2 p \cos α + p^{2}} .$

Ядро Діріхле та ядро Феєра

Сума виду

D_{n} (x) = \frac{1}{2} + \sum_{k = 1}^{n} \cos (k x) = \frac{\sin ((n + \frac{1}{2}) x)}{2 \sin (\frac{x}{2})} .

називається ядром Діріхле.

А функція

Φ_{n} (x) = \frac{1}{n + 1} \sum_{k = 0}^{n} D_{k} (x),

називається ядром Феєра

Φ_{n} (x) = \frac{1}{2 (n + 1)} {(\frac{\sin \frac{n + 1}{2} x}{\sin \frac{x}{2}})}^{2} = \frac{1}{2 (n + 1)} \frac{1 - \cos ((n + 1) x)}{1 - \cos x}

,

Вони використані при сумуванні рядів Фур'є.

Зображення через нескінченні добутки

\sin x = x \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - \frac{x^{2}}{π^{2} n^{2}}), \cos x = \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - \frac{x^{2}}{π^{2} {(n - \frac{1}{2})}^{2}}),

Співвдношення за додаткових обмежень на значення кутів

Нехай

α + β + γ = π,

тоді

\sin 2 α + \sin 2 β + \sin 2 γ = 4 \sin α \sin β \sin γ,

\sin α + \sin β + \sin γ = 4 \cos \frac{α}{2} \cos \frac{β}{2} \cos \frac{γ}{2},

\sin^{2} α + \sin^{2} β + \sin^{2} γ = 2 \cos α \cos β \cos γ + 2,

\cos 2 α + \cos 2 β + \cos 2 γ = - 4 \cos α \cos β \cos γ - 1,

\cos α + \cos β + \cos γ = 4 \sin \frac{α}{2} \sin \frac{β}{2} \sin \frac{γ}{2} + 1,

\cos^{2} α + \cos^{2} β + \cos^{2} γ = - 2 \cos α \cos β \cos γ + 1,

t g α + t g β + t g γ = t g α t g β t g γ,

t g \frac{β}{2} t g \frac{γ}{2} + t g \frac{γ}{2} t g \frac{α}{2} + t g \frac{α}{2} t g \frac{β}{2} = 1,

c t g \frac{α}{2} + c t g \frac{β}{2} + c t g \frac{γ}{2} = c t g \frac{α}{2} \cdot c t g \frac{β}{2} \cdot c t g \frac{γ}{2},

c t g α c t g β + c t g β c t g γ + c t g γ c t g α = 1 .

Зауважимо, що наведені вище співвідношення справджуються, якщо $α, β, γ$ — кути деякого трикутника.

Нехай

α + β + γ = \frac{π}{2},

тоді

c t g (α) + c t g (β) + c t g (γ) = c t g (α) c t g (β) c t g (γ) .

Нехай

α + β + γ + θ = π,

тоді

\begin{matrix} \sin (θ + α) \sin (α + β) & = \sin (α + β) \sin (β + γ) \\ = \sin (β + γ) \sin (γ + θ) \\ = \sin (γ + θ) \sin (θ + α) \\ = \sin (θ) \sin (β) + \sin (α) \sin (γ) . \end{matrix}

Обернені тригонометричні функції

\arcsin (- x) = - \arcsin (x), \arccos (- x) = π - \arccos (x), \arcsin (x) + \arccos (x) = π / 2

a r c t g (- x) = - a r c t g (x), a r c c t g (- x) = π - a r c c t g (x), a r c t g (x) + a r c c t g (x) = π / 2 .

a r c t g (x) + a r c t g (1 / x) = {\begin{matrix} π / 2, & x > 0, \\ - π / 2, & x < 0 . \end{matrix}

Зв'язок між оберненими тригонометричними функціями для x>0
	$\arccos$	$\arcsin$	$a r c t g$	$a r c c t g$
$\arccos x =$	$\arccos x$	$\frac{π}{2} - \arcsin x$	$a r c t g \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}$	$a r c c t g \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
$\arcsin x =$	$\frac{π}{2} - \arccos x$	$\arcsin x$	$a r c t g \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$	$a r c c t g \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}$
$a r c t g x =$	$\arccos \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$	$\arcsin \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$	$a r c t g x$	$a r c c t g \frac{1}{x}$
$a r c c t g x =$	$\arccos \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$	$\arcsin \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$	$a r c t g \frac{1}{x}$	$a r c c t g x$

Поєднання тригонометричних та обернених їм функцій

Поєднання тригонометричних та обернених їм функцій
$\sin [\arccos (x)] = \sqrt{1 - x^{2}}$	$t g [\arcsin (x)] = \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
$\sin [a r c t g (x)] = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$	$t g [\arccos (x)] = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}$
$\cos [a r c t g (x)] = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$	$c t g [\arcsin (x)] = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}$
$\cos [\arcsin (x)] = \sqrt{1 - x^{2}}$	$c t g [\arccos (x)] = \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Додавання обернених тригонометричних функцій

Нехай $x, y$ такі, що $| x | \leq 1, | y | \leq 1$ , тоді

\arcsin (x) + \arcsin (y) = (- 1)^{ε} \arcsin (x \sqrt{1 - y^{2}} + y \sqrt{1 - x^{2}}) + ε π, ε = {\begin{matrix} 0, & x y \leq 0, \\ sgn x, & x y > 0, \end{matrix}

\arccos (x) + \arccos (y) = (- 1)^{ε} \arccos (x y - \sqrt{1 - y^{2}} \sqrt{1 - x^{2}}) + ε π, ε = {\begin{matrix} 0, & x + y \geq 0, \\ 1, & x + y < 0, \end{matrix}

a r c t g (x) + a r c t g (y) = arctg (\frac{x + y}{1 - x y}) + ε π, ε = {\begin{matrix} - 1, & x y < 1, \\ 0, & x y = 1, \\ 1, & x y > 1 . \end{matrix}

Розв'язок найпростіших тригонометричних рівнянь

Шаблон:Див. також

$\sin x = a$ .

Якщо

| a | > 1

— дійсних розв'язків не існує.

Якщо

| a | \leq 1

— розв'язком є число виду

x = (- 1)^{n} \arcsin a + π n; n \in ℤ

.

$\cos x = a$ .

Якщо

| a | > 1

— розв'язків нема.

Якщо

| a | \leq 1

— розв'язком є число виду

x = \pm \arccos a + 2 π n; n \in ℤ

.

$tg x = a$ .

Розв'язком є число виду

x = arctg a + π n; n \in ℤ

.

$ctg x = a$ .

Розв'язком є число виду

x = arcctg a + π n; n \in ℤ

.

Розв'язок найпростіших тригонометричних нерівностей

Вид нерівності	Множина розв'язків, $n \in ℤ$
$\sin x > a (\| a \| ⩽ 1)$	$x \in (\arcsin a + 2 π n, π - \arcsin a + 2 π n)$
$\sin x < a (\| a \| ⩽ 1)$	$x \in (- π - \arcsin a + 2 π n, \arcsin a + 2 π n)$
$\cos x > a (\| a \| ⩽ 1)$	$x \in (- \arccos a + 2 π n, \arccos a + 2 π n)$
$\cos x < a (\| a \| ⩽ 1)$	$x \in (\arccos a + 2 π n, 2 π - \arccos a + 2 π n)$
$t g x > a$	$x \in (a r c t g a + π n, \frac{π}{2} + π n)$
$t g x < a$	$x \in (- \frac{π}{2} + π n, a r c t g a + π n)$
$c t g x > a$	$x \in (π n, a r c c t g a + π n)$
$c t g x < a$	$x \in (a r c t g a + π n, π n)$

Одна корисна нерівність

Для довільного $x$ з інтервалу $[- π / 2, π / 2]$ виконуються такі нерівності:

\frac{2}{π} | x | ⩽ | \sin (x) | ⩽ | x | .

Універсальна тригонометрична підстановка

Шаблон:Main Тотожності мають зміст лише тоді, коли існують обидві частини (тобто при $α \neq π + 2 π n$ ).

$\sin α = \frac{2 tg \frac{α}{2}}{1 + {tg}^{2} \frac{α}{2}}, \cos α = \frac{1 - {tg}^{2} \frac{α}{2}}{1 + {tg}^{2} \frac{α}{2}}, \sec α = \frac{1 + {tg}^{2} \frac{α}{2}}{1 - {tg}^{2} \frac{α}{2}};$

$tg α = \frac{2 tg \frac{α}{2}}{1 - {tg}^{2} \frac{α}{2}}, ctg α = \frac{1 - {tg}^{2} \frac{α}{2}}{2 tg \frac{α}{2}}, \csc α = \frac{1 + {tg}^{2} \frac{α}{2}}{2 tg \frac{α}{2}} .$

Допоміжний аргумент (метод Юніса)

$a \sin x \pm b \cos x = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin (x \pm \arcsin \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}),$

$a \cos x \pm b \sin x = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \cos (x \mp \arccos \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}),$

$b + a t g (x) = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin (x + a r c t g (b / a))}{\cos x},$

$a + b c t g (x) = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin (x + a r c t g (b / a))}{\sin x} .$

Перші дві формули можуть бути узагальненими

\sum_{i = 1}^{n} a_{i} \sin (x + δ_{i}) = a \sin (x + δ),

де

a^{2} = \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i} a_{j} \cos (δ_{i} - δ_{j}), δ = a r c t g \frac{\sum_{i = 1}^{n} a_{i} \sin δ_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} a_{i} \cos δ_{i}} .

Зв'язок з комплексною експонентою

e^{i x} = \cos (x) + i \sin (x), i^{2} = - 1,

— формула Ейлера,

Експоненційне зображення тригонометричних функцій та обернених їм

Функція	Обернена функція
$\sin θ = \frac{e^{i θ} - e^{- i θ}}{2 i}$	$\arcsin x = - i \ln (i x + \sqrt{1 - x^{2}})$
$\cos θ = \frac{e^{i θ} + e^{- i θ}}{2}$	$\arccos x = i \ln (x - i \sqrt{1 - x^{2}})$
$tg θ = \frac{e^{i θ} - e^{- i θ}}{i (e^{i θ} + e^{- i θ})}$	$arctg x = \frac{i}{2} \ln (\frac{i + x}{i - x})$
$\csc θ = \frac{2 i}{e^{i θ} - e^{- i θ}}$	$arccsc x = - i \ln (\frac{i}{x} + \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}})$
$\sec θ = \frac{2}{e^{i θ} + e^{- i θ}}$	$arcsec x = - i \ln (\frac{1}{x} + \sqrt{1 - \frac{i}{x^{2}}})$
$ctg θ = \frac{i (e^{i θ} + e^{- i θ})}{e^{i θ} - e^{- i θ}}$	$arcctg x = \frac{i}{2} \ln (\frac{x - i}{x + i})$

Числові співвідношення

\sin^{2} (1 8^{\circ}) + \sin^{2} (3 0^{\circ}) = \sin^{2} (3 6^{\circ}),

\sin 2 0^{\circ} \cdot \sin 4 0^{\circ} \cdot \sin 8 0^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{8},

\cos 3 6^{\circ} + \cos 10 8^{\circ} = \frac{1}{2},

\cos 2 4^{\circ} + \cos 4 8^{\circ} + \cos 9 6^{\circ} + \cos 16 8^{\circ} = \frac{1}{2},

\begin{matrix} \cos (\frac{2 π}{21}) + \cos (2 \cdot \frac{2 π}{21}) + \cos (4 \cdot \frac{2 π}{21}) \\ + \cos (5 \cdot \frac{2 π}{21}) + \cos (8 \cdot \frac{2 π}{21}) + \cos (10 \cdot \frac{2 π}{21}) = \frac{1}{2}, \end{matrix}

\cos 2 0^{\circ} \cdot \cos 4 0^{\circ} \cdot \cos 8 0^{\circ} = \frac{1}{8},

\prod_{k = 1}^{n - 1} \sin (\frac{k π}{n}) = \frac{n}{2^{n - 1}},

\prod_{k = 1}^{n - 1} \cos (\frac{k π}{n}) = \frac{\sin (π n / 2)}{2^{n - 1}},

\prod_{k = 1}^{n - 1} t g (\frac{k π}{n}) = \frac{n}{\sin (π n / 2)},

\prod_{k = 1}^{m} t g (\frac{k π}{2 m + 1}) = \sqrt{2 m + 1},

\prod_{k = 1}^{n} \sin (\frac{(2 k - 1) π}{4 n}) = \prod_{k = 1}^{n} \cos (\frac{(2 k - 1) π}{4 n}) = \frac{\sqrt{2}}{2^{n}},

\frac{π}{4} = 4 a r c t g \frac{1}{5} - a r c t g \frac{1}{239},

\frac{π}{4} = 5 a r c t g \frac{1}{7} + 2 a r c t g \frac{3}{79} .

Різне

\sin (\frac{π}{4} + α) = \cos (\frac{π}{4} - α),

\sin (\frac{π}{4} - α) = \cos (\frac{π}{4} + α),

t g (\frac{α + β}{2}) = \frac{\sin α + \sin β}{\cos α + \cos β} = - \frac{\cos α - \cos β}{\sin α - \sin β},

1 \pm tg α = \frac{\sqrt{2} \sin (\frac{π}{4} \pm α)}{\cos α},

1 \pm ctg α = \frac{\sqrt{2} \sin (\frac{π}{4} \pm α)}{\sin α},

t g (α) + \sec (α) = tg (\frac{α}{2} + \frac{π}{4}) .

c t g (α) + tg (\frac{α}{2}) = \csc (α),

tg α = \frac{\sin 2 α}{\cos 2 α + 1},

tg 5 α = tg α \cdot tg (\frac{π}{5} + α) \cdot tg (\frac{π}{5} - α) \cdot tg (\frac{2 π}{5} + α) \cdot tg (\frac{2 π}{5} - α) .

tg 7 α = tg α \cdot tg (\frac{π}{7} + α) \cdot tg (\frac{π}{7} - α) \cdot tg (\frac{2 π}{7} + α) \cdot tg (\frac{2 π}{7} - α) \cdot tg (\frac{3 π}{7} + α) \cdot tg (\frac{3 π}{7} - α) .

\cos (α) + 2 \cos (2 α) + 3 \cos (3 α) + \dots = \sum_{k = 1}^{n} k \cos (k α) = \frac{n \sin (\frac{α}{2}) \sin (\frac{(2 n + 1) α}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{n α}{2})}{2 \sin^{2} (\frac{α}{2})}

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2^{k}} tg (\frac{α}{2^{k}}) = \frac{1}{2^{n}} ctg (\frac{α}{2^{n}}) - ctg α

\cos (α) \cos (\frac{α}{2}) \cdot \cos (\frac{α}{4}) \dots = \prod_{n = 0}^{\infty} \cos (\frac{α}{2^{n}}) = \frac{\sin 2 α}{2 α} .

\cos (\frac{α}{2}) \cdot \cos (\frac{α}{4}) \cdot \cos (\frac{α}{8}) \dots = \prod_{n = 1}^{\infty} \cos (\frac{α}{2^{n}}) = \frac{\sin α}{α}

\prod_{k = 0}^{n} \cos (2^{k} α) = \frac{\sin (2^{n + 1} α)}{2^{n + 1} \sin α} .

\prod_{k = 0}^{n} \cos (\frac{α}{2^{k}}) = \frac{\sin 2 α}{2^{n + 1} \sin (\frac{α}{2^{n}})} .

\prod_{k = 1}^{n} \cos (\frac{α}{2^{k}}) = \frac{\sin α}{2^{n} \sin (\frac{α}{2^{n}})} .

| \sin x | = \frac{1}{2} \prod_{n = 0}^{\infty} \sqrt[2^{n + 1}]{| tg (2^{n} x) |} .

Див. також

Література

Шаблон:Книга

Шаблон:Книга

Список тригонометричних тотожностей

Основні позначення

Кути

Тригонометричні функції

Обернені тригонометричні функції

Екзотичні тригонометричні функції

Таблиці значень тригонометричних функцій

Основні тригонометричні формули

Співвідношення між основними тригонометричними функціями

Формули зведення

Симетрія

Зсув та періодичність

Формули для суми аргументів

Синус і косинус від нескінченної суми

Тангенси від сум аргументів

Секанс і косеканс від суми аргументів

Формули подвійного кута

Формули потрійного кута

Формули кратних кутів

Ітераційні формули

З використанням спеціальних многочленів

Зображення у вигляді скінченних добутків

Формули половинного кута

Формули пониження степеня

Загальні формули пониження степеня

Формули перетворення добутків функцій

Формули перетворення суми функцій

Загальні суми

Ядро Діріхле та ядро Феєра

Зображення через нескінченні добутки

Співвдношення за додаткових обмежень на значення кутів

Обернені тригонометричні функції

Поєднання тригонометричних та обернених їм функцій

Додавання обернених тригонометричних функцій

Розв'язок найпростіших тригонометричних рівнянь

Розв'язок найпростіших тригонометричних нерівностей

Одна корисна нерівність

Універсальна тригонометрична підстановка

Допоміжний аргумент (метод Юніса)

Зв'язок з комплексною експонентою

Експоненційне зображення тригонометричних функцій та обернених їм

Числові співвідношення

Різне

Див. також

Література

Навігаційне меню

Пошук