Обернені тригонометричні функції

Шаблон:UniboxШаблон:Вікіфікувати Шаблон:Тригонометрія Обернені тригонометричні функції (аркфункції) — математичні функції, що є оберненими до тригонометричних функцій.

До обернених тригонометричних функцій відносять 6 функцій:

• аркси́нус (arcsin)
• аркко́синус (arccos)
• аркта́нгенс (arctg; в іноземній літературі arctan)
• арккота́нгенс (arcctg; в іноземній літературі arccot чи arccotan)
• арксе́канс (arcsec)
• арккосе́канс (arccosec; в іноземній літературі arccsc)

Назва оберненої тригонометричної функції утворюється від назви тригонометриної функції за допомогою префікса «арк-» (від Шаблон:Lang-la — дуга). Це тому, що геометрично значення оберненої тригонометричної функції рівне дузі одиничного кола (чи кутові, що стягує цю дугу), яка опирається на заданий відрізок.

Основні властивості

Головні значення

Оскільки жодна із тригонометричних функції не є однозначною, вони мають обмеження для того, щоб мати обернені функції. Тому області значень обернених функцій є відповідними підмножинами області визначення початкових функцій.

Функцію Шаблон:Math можна визначити як таку, що sin(y) = x. Для даного дійсного числа x, в діапазоні −1 ≤ x ≤ 1, існує декілька (на справді, нескінченно багато) чисел y, таких що Шаблон:Math; наприклад, Шаблон:Math, але і Шаблон:Math, Шаблон:Math, і так далі. Якщо необхідно отримати лише одне значення, функцію можна обмежити до її головної області. Із таким обмеженням, для кожного x вираз Шаблон:Math буде обчислювати лише одне значення, яке називається Шаблон:Нп. Ці властивості застосовується до всіх обернених тригонометричних функцій.

Головні області значень зворотніх функцій наведені у таблиці.

Назва	Позначення	Визначення	Можливі дійсні значення аргументу функції	Область значень (радіани)	Область значень (градуси)
арксинус	y = arcsin x	x = sin y	−1 ≤ x ≤ 1	−π/2 ≤ y ≤ π/2	−90° ≤ y ≤ 90°
арккосинус	y = arccos x	x = cos y	−1 ≤ x ≤ 1	0 ≤ y ≤ π	0° ≤ y ≤ 180°
арктангенс	y = arctg x	x = tg y	всі дійсні числа	−π/2 < y < π/2	−90° < y < 90°
арккотангенс	y = arcctg x	x = ctg y	всі дійсні числа	0 < y < π	0° < y < 180°
арксеканс	y = arcsec x	x = sec y	x ≤ −1 або 1 ≤ x	0 ≤ y < π/2 або π/2 < y ≤ π	0° ≤ y < 90° або 90° < y ≤ 180°
арккосеканс	y = arccosec x	x = cosec y	x ≤ −1 або 1 ≤ x	−π/2 ≤ y < 0 або 0 < y ≤ π/2	-90° ≤ y < 0° або 0° < y ≤ 90°

Основні відношення

Головні значення функцій arcsin(x) та arccos(x).

Головні значення функцій arcsec(x) та arccsc(x).

Доповнювальний кут:

$\arccos x=\frac{\pi }{2}-\arcsin x$

$\mathrm{arccot}x=\frac{\pi }{2}-\arctan x$

$\mathrm{arccsc}x=\frac{\pi }{2}-\mathrm{arcsec}x$

Від'ємний аргумент:

$\arcsin (-x)=-\arcsin x$

$\arccos (-x)=\pi -\arccos x$

$\arctan (-x)=-\arctan x$

$\mathrm{arccot}(-x)=\pi -\mathrm{arccot}x$

$\mathrm{arcsec}(-x)=\pi -\mathrm{arcsec}x$

$\mathrm{arccsc}(-x)=-\mathrm{arccsc}x$

Обернений аргумент:

$\arccos (1/x)=\mathrm{arcsec}x$

$\arcsin (1/x)=\mathrm{arccsc}x$

$\arctan (1/x)=\frac{1}{2}\pi -\arctan x=\mathrm{arccot}x,\text{ if }x>0$

$\arctan (1/x)=-\frac{1}{2}\pi -\arctan x=-\pi +\mathrm{arccot}x,\text{ if }x<0$

$\mathrm{arccot}(1/x)=\frac{1}{2}\pi -\mathrm{arccot}x=\arctan x,\text{ if }x>0$

$\mathrm{arccot}(1/x)=\frac{3}{2}\pi -\mathrm{arccot}x=\pi +\arctan x,\text{ if }x<0$

$\mathrm{arcsec}(1/x)=\arccos x$

$\mathrm{arccsc}(1/x)=\arcsin x$

Якщо наявна тільки частина таблиці для sine:

$\arccos x=\arcsin \sqrt{1-x^2},\text{ if }0\le x\le 1$

$\arctan x=\arcsin \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

Із формули половинного кута $\tan \frac{\theta }{2}=\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }$, отримаємо:

$\arcsin x=2\arctan \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}$

$\arccos x=2\arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x},\text{ if }-1<x\le +1$

$\arctan x=2\arctan \frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}$

Відношення між оберненими тригонометричними та тригонометричними функціями

Тригонометричні функції, аргументом яких є зворотні тригонометричні функції, приведені в таблиці нижче. Їх можна швидко вивести із геометрії правильного трикутника, одна із сторін якого має довжину 1, а інша сторона має довжину x (будь-яке дійсне число що приймає значення від 0 до 1), і застосувавши Теорему Піфагора і визначення тригонометричних співвідношень.

$\theta$	$\sin (\theta )$	$\cos (\theta )$	$\tan (\theta )$	Діаграми
$\arcsin (x)$	$\sin (\arcsin (x))=x$	$\cos (\arcsin (x))=\sqrt{1-x^2}$	$\tan (\arcsin (x))=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos (x)$	$\sin (\arccos (x))=\sqrt{1-x^2}$	$\cos (\arccos (x))=x$	$\tan (\arccos (x))=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$
$\arctan (x)$	$\sin (\arctan (x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$	$\cos (\arctan (x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$	$\tan (\arctan (x))=x$
$\mathrm{arccsc}(x)$	$\sin (\mathrm{arccsc}(x))=\frac{1}{x}$	$\cos (\mathrm{arccsc}(x))=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}$	$\tan (\mathrm{arccsc}(x))=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
$\mathrm{arcsec}(x)$	$\sin (\mathrm{arcsec}(x))=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}$	$\cos (\mathrm{arcsec}(x))=\frac{1}{x}$	$\tan (\mathrm{arcsec}(x))=\sqrt{x^2-1}$
$\mathrm{arccot}(x)$	$\sin (\mathrm{arccot}(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$	$\cos (\mathrm{arccot}(x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$	$\tan (\mathrm{arccot}(x))=\frac{1}{x}$

Диференціювання тригонометричних функцій

Похідна для дійсних та комплексних значень x:

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\arcsin x& =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \frac{d}{dx}\arccos x& =\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \frac{d}{dx}\arctan x& =\frac{1}{1+x^2}\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arccot}x& =\frac{-1}{1+x^2}\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arcsec}x& =\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arccsc}x& =\frac{-1}{x\sqrt{x^2-1}}\end{array}$

Тільки для дійсних значень x:

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\mathrm{arcsec}x& =\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}};|x|>1\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arccsc}x& =\frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}};|x|>1\end{array}$

Приклад знаходження похідної: нехай $\theta =\arcsin x$, отримаємо:

$\frac{d\arcsin x}{dx}=\frac{d\theta }{d\sin \theta }=\frac{1}{\cos \theta }=\frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Застосування

Знаходження кутів прямокутного трикутника

Прямокутний трикутник: a - протилежний катет, b - прилеглий катет і h- гіпотенуза.

Обернені тригонометричні функції є корисними, коли необхідно визначити два не прямі кути прямокутного трикутника при відомих довжинах сторін трикутника. Якщо для прямокутного трикутника згадати визначення синуса, наприклад, буде отримане наступне

$\theta =\arcsin \left(\frac{\text{a}}{\text{h}}\right).$

Часто, гіпотенуза є не відомою і перед застосуванням функцій арксинуса або арккосинуса її необхідно розрахувати використовуючи теорему Піфагора: $a^2+b^2=h^2$ де $h$ це довжина гіпотенузи. Арктангенс стає корисним в такій ситуації, оскільки довжина гіпотенузи не є необхідною.

$\theta =\arctan \left(\frac{\text{a}}{\text{b}}\right).$

Наприклад, допустимо дах має висоту в 8 метрів і просувається в довжину на 20 метрів. Дах утворює кут θ із горизонталлю, де θ можна розрахувати наступним чином:

$\theta =\arctan \left(\frac{\text{a}}{\text{b}}\right)=\arctan \left(\frac{\text{висота}}{\text{довжина}}\right)=\arctan \left(\frac{8}{20}\right)\approx 21.8^{\circ }.$

У комп'ютерній науці і інженерії

Варіант арктангенсу з двома аргументами

Функція з двома аргументами Шаблон:Нп розраховує арктангенс y / x для заданих y і x, але в діапазоні (−Шаблон:Pi, Шаблон:Pi]. Іншими словами, atan2(y, x) повертає кут між додатною частиною осі x на площині і точкою (x, y) на ній, і повертає додані значення для кутів проти годинникової стрілки (верхній півплощині, y > 0), і від'ємні значення для кутів за годинниковою стрілкою (нижньої півплощини, y < 0). Вперше така функція з'явилася в комп'ютерних мовах програмування, але зараз вона є відомою і в інших областях науки і інженерії.

Через стандартну функцію arctan, у діапазоні (−Шаблон:Sfrac, Шаблон:Sfrac), її можна задати наступним чином:

$\mathrm{atan2}(y,x)=\{\begin{array}{cc}\arctan (\frac{y}{x})& x>0\\ \arctan (\frac{y}{x})+\pi & y\ge 0,x<0\\ \arctan (\frac{y}{x})-\pi & y<0,x<0\\ \frac{\pi }{2}& y>0,x=0\\ -\frac{\pi }{2}& y<0,x=0\\ \text{undefined}& y=0,x=0\end{array}$

Це також дорівнює Шаблон:Нп Шаблон:Нп комплексного числа x + iy.

Цю функцію також можна визначити із використанням формули тангенса половинного кута наступним чином:

$\mathrm{atan2}(y,x)=2\arctan \left(\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}+x}\right)$

за умови, що x > 0 або y ≠ 0. Однак, значення буде не коректним якщо x ≤ 0 і y = 0 тому такий вираз не є корисним для розрахунків.

Вищезгаданий порядок аргументів (y, x) є найбільш загальним, і зокрема використовується в ISO стандартах що застосовуються, наприклад в мові програмування C, але деякі автори можуть використовувати порядок навпаки (x, y), тому потрібно приділяти увагу.

Числова точність

Для кутів близькими за значенням до 0 і Шаблон:Pi, arccosine є погано обумовленим і тому обчислення кута буде відбуватися із зменшеною точністю при реалізації на комп'ютері (через обмежену кількість розрядів). Аналогічно, arcsine є неточним для кутів близьких до −Шаблон:Pi/2 and Шаблон:Pi/2.

Див. також

• Тригонометрія
• Тригонометричні функції
• Список тригонометричних тотожностей
• Таблиця інтегралів тригонометричних функцій
• Таблиця інтегралів обернених тригонометричних функцій
• Інтегральні тригонометричні функції
• Обернені гіперболічні функції

Джерела

• Шаблон:MathWorld
• Аркфункція: від А до Я / О. С. Істер. — Вид. 2-ге. — Тернопіль : Навч. кн.—Богдан, 2012. — 175 с. : іл., табл. ; 20 см. — (Бібліотечка фізико-математичної школи, ISBN 978-966-10-0742-9). — ISBN 978-966-10-2985-8
• Шаблон:Клепко ВМ
• Шаблон:Фіхтенгольц.укр