Таблиця інтегралів обернених тригонометричних функцій

Шаблон:Тригонометрія Це список інтегралів (первісних функцій) обернених тригонометричних функцій (також відомих як арк- функції). Для повнішого списку інтегралів дивись Таблиця інтегралів.

У всіх цих формурах під a мається на увазі ненульова константа, C означає сталу інтегрування, визначену тоді, коли відома точка, через яку проходить первісна. Таким чином, кожна функція має необмежену кількість первісних.

Зауваження. В математичній літературі стрічаються різна позначення для обернених тригонометричних функцій. Наприклад, арксинус може бути записаний як sin⁻¹, asin, або ж позначенням, що використовується тут, arcsin.

Арксинус

$\int \arcsin xdx=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C$

$\int \arcsin \frac{x}{a}dx=x\arcsin \frac{x}{a}+\sqrt{a^2-x^2}+C$

$\int x\arcsin \frac{x}{a}dx=(\frac{x^2}{2}-\frac{a^2}{4})\arcsin \frac{x}{a}+\frac{x}{4}\sqrt{a^2-x^2}+C$

$\int x^2\arcsin \frac{x}{a}dx=\frac{x^3}{3}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{x^2+2a^2}{9}\sqrt{a^2-x^2}+C$

$\int x^n\arcsin xdx=\frac{1}{n+1}(x^{n+1}\arcsin x+\frac{x^n\sqrt{1-x^2}-n{x}^{n-1}\arcsin x}{n-1}+n\int x^{n-2}\arcsin xdx)$

$\int {\cos }^{n}x\arcsin xdx=(x^{n^2+1}\arccos x+\frac{x^n\sqrt{1-x^4}-n{x}^{n^2-1}\arccos x}{n^2-1}+n\int x^{n^2-2}\arccos xdx)$

Арккосинус

$\int \arccos xdx=x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C$

$\int \arccos \frac{x}{a}dx=x\arccos \frac{x}{a}-\sqrt{a^2-x^2}+C$

$\int x\arccos \frac{x}{a}dx=(\frac{x^2}{2}-\frac{a^2}{4})\arccos \frac{x}{a}-\frac{x}{4}\sqrt{a^2-x^2}+C$

$\int x^2\arccos \frac{x}{a}dx=\frac{x^3}{3}\arccos \frac{x}{a}-\frac{x^2+2a^2}{9}\sqrt{a^2-x^2}+C$

Арктангенс

$\int \arctan xdx=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C$

$\int \arctan \left(\frac{x}{a}\right)dx=x\arctan \left(\frac{x}{a}\right)-\frac{a}{2}\ln (1+\frac{x^2}{a^2})+C$

$\int x\arctan \left(\frac{x}{a}\right)dx=\frac{(a^2+x^2)\arctan \left(\frac{x}{a}\right)-ax}{2}+C$

$\int x^2\arctan \left(\frac{x}{a}\right)dx=\frac{x^3}{3}\arctan \left(\frac{x}{a}\right)-\frac{a{x}^2}{6}+\frac{a^3}{6}\ln (a^2+x^2)+C$

$\int x^n\arctan \left(\frac{x}{a}\right)dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\arctan \left(\frac{x}{a}\right)-\frac{a}{n+1}\int \frac{x^{n+1}}{a^2+x^2}dx,n\ne -1$

Арккосеканс

$\int \mathrm{arccsc}xdx=x\mathrm{arccsc}x+\ln |x+x\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}}|+C$

$\int \mathrm{arccsc}\frac{x}{a}dx=x\mathrm{arccsc}\frac{x}{a}+a\ln (\frac{x}{a}(\sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}}+1))+C$

$\int x\mathrm{arccsc}\frac{x}{a}dx=\frac{x^2}{2}\mathrm{arccsc}\frac{x}{a}+\frac{ax}{2}\sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}}+C$

Арксеканс

$\int \mathrm{arcsec}xdx=x\mathrm{arcsec}x-\ln |x+x\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}}|+C$

$\int \mathrm{arcsec}\frac{x}{a}dx=x\mathrm{arcsec}\frac{x}{a}+\frac{x}{a|x|}\ln |x\pm \sqrt{x^2-1}|+C$

$\int x\mathrm{arcsec}xdx=\frac{1}{2}(x^2\mathrm{arcsec}x-\sqrt{x^2-1})+C$

$\int x^n\mathrm{arcsec}xdx=\frac{1}{n+1}(x^{n+1}\mathrm{arcsec}x-\frac{1}{n}[x^{n-1}\sqrt{x^2-1}+[1-n](x^{n-1}\mathrm{arcsec}x+(1-n)\int x^{n-2}\mathrm{arcsec}xdx)])$

Арккотангенс

$\int \mathrm{arccot}xdx=x\mathrm{arccot}x+\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C$

$\int \mathrm{arccot}\frac{x}{a}dx=x\mathrm{arccot}\frac{x}{a}+\frac{a}{2}\ln (a^2+x^2)+C$

$\int x\mathrm{arccot}\frac{x}{a}dx=\frac{a^2+x^2}{2}\mathrm{arccot}\frac{x}{a}+\frac{ax}{2}+C$

$\int x^2\mathrm{arccot}\frac{x}{a}dx=\frac{x^3}{3}\mathrm{arccot}\frac{x}{a}+\frac{a{x}^2}{6}-\frac{a^3}{6}\ln (a^2+x^2)+C$

$\int x^n\mathrm{arccot}\frac{x}{a}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\mathrm{arccot}\frac{x}{a}+\frac{a}{n+1}\int \frac{x^{n+1}}{a^2+x^2}dx,n\ne -1$

Джерела

• Шаблон:Двайт-таблиці