Екзотичні тригонометричні функції

Екзотичні тригонометричні функції — функції кута, які в теперішній час використовуються рідше за основні тригонометричні функції (синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс та косеканс). До них належать:

Визначення тригонометричних функций через коло. Відрізки CD та DE позначають версинус та ексеканс відповідно

• Синус-верзус (інші назви: версинус, синус версус, також «стрілка дуги»). Визначається як $\mathrm{versin}\vartheta =1-\cos \vartheta =2{\sin }^2\frac{\vartheta }{2}.$ Деколи позначається як $\mathrm{vers}\vartheta ,\sin \mathrm{vers}\vartheta .$

• Косинус-верзус (інші назви: коверсинус, косинус версус). Визначається як $\mathrm{vercos}\vartheta =\mathrm{versin}(\frac{\pi }{2}-\vartheta )=1-\sin \vartheta .$ Деколи позначається як $\mathrm{cvs}\vartheta ,\cos \mathrm{vers}\vartheta .$

• Гаверсинус (Шаблон:Lang-en, скорочення від half the versed sine). Визначається як $\mathrm{haversin}\vartheta =\frac{\mathrm{versin}\vartheta }{2}={\sin }^2\frac{\vartheta }{2}.$ Деколи позначається як $\mathrm{hav}\vartheta .$

• Ексеканс (Шаблон:Lang-en) чи екссеканс. Визначається як $\mathrm{exsec}\vartheta =\sec \vartheta -1.$

• Екскосеканс: $\mathrm{excsc}\vartheta =\mathrm{exsec}(\frac{\pi }{2}-\vartheta )=\mathrm{cosec}\vartheta -1.$

$\text{versin}(\theta ):=2{\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)=1-\cos (\theta )$
$\text{vercosin}(\theta ):=2{\cos }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)=1+\cos (\theta )$
$\text{coversin}(\theta ):=\text{versin}(\frac{\pi }{2}-\theta )=1-\sin (\theta )$
$\text{covercosin}(\theta ):=\text{vercosin}(\frac{\pi }{2}-\theta )=1+\sin (\theta )$
$\text{haversin}(\theta ):=\frac{\text{versin}(\theta )}{2}=\frac{1-\cos (\theta )}{2}$
$\text{havercosin}(\theta ):=\frac{\text{vercosin}(\theta )}{2}=\frac{1+\cos (\theta )}{2}$
$\text{hacoversin}(\theta ):=\frac{\text{coversin}(\theta )}{2}=\frac{1-\sin (\theta )}{2}$
$\text{hacovercosin}(\theta ):=\frac{\text{covercosin}(\theta )}{2}=\frac{1+\sin (\theta )}{2}$

Похідні та інтеграли

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=\sin x$	$\int \mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)\mathrm{d}x=x-\sin x+C$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=-\sin x$	$\int \mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)\mathrm{d}x=x+\sin x+C$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=-\cos x$	$\int \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)\mathrm{d}x=x+\cos x+C$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=\cos x$	$\int \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)\mathrm{d}x=x-\cos x+C$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=\frac{\sin x}{2}$	$\int \mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)\mathrm{d}x=\frac{x-\sin x}{2}+C$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=\frac{-\sin x}{2}$	$\int \mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)\mathrm{d}x=\frac{x+\sin x}{2}+C$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=\frac{-\cos x}{2}$	$\int \mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)\mathrm{d}x=\frac{x+\cos x}{2}+C$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=\frac{\cos x}{2}$	$\int \mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)\mathrm{d}x=\frac{x-\cos x}{2}+C$

Використання

Версинус, коверсинус та гаверсинус були зручні для логарифмів, оскільки вони всюди невід'ємні, але зараз, за наявності обчислювальної техніки це вже не актуально.

Також використовуються для опису відповідних сигналів в електроніці (наприклад, в функціональних генераторах). Гаверсинус також використовується в розрахунках навігації для уникнення похибок округлення в системах обмеженої розрядності.

Див. також

• Формула гаверсинуса

Джерела

• Статті на сайті Mathworld: эксеканс Шаблон:Webarchive, версинус Шаблон:Webarchive, коверсинус Шаблон:Webarchive, гаверсинус Шаблон:Webarchive.
• Поиск расстояния до точки на карте по координатам.