Теорема Леві про монотонну збіжність

Теорема про монотонну збіжність — теорема теорії інтегрування Лебега, що має фундаментальне значення для функціонального аналізу і теорії ймовірностей, де є інструментом для доведення багатьох тверджень. Дає одну з достатніх умов при яких можна переходити до границі під знаком інтеграла Лебега, дозволяє довести існування межі у деяких обмежених функціональних послідовностей.

Твердження

Нехай $(X,ℱ,\mu )$ — фіксований простір з мірою.

• Припустимо, що $\{f_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ - монотонна і майже всюди невід'ємна функціональна послідовність інтегровних за Лебегом функцій на $X$. Тоді

$\underset{X}{\int }\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{f}_n(x)\mu (dx)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\underset{X}{\int }{f}_n(x)\mu (dx).$

• Нехай $\{f_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ — монотонно зростаюча функціональна послідовність. Причому інтеграли Лебега від функцій $f_n(x)$ обмежені в сукупності, тобто $\mathrm{\exists }K:\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\underset{X}{\int }{f}_n(x)\mu (dx)<K$. Тоді гранична функція $f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)$ скінченна майже всюди, інтегровна і $\underset{X}{\int }f(x)\mu (dx)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }{f}_n(x)\mu (dx)$.
• Нехай ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\varphi }_k(x)$ складається з інтегровних невід'ємних функцій. Тоді якщо інтеграли від часткових сум ряду обмежені в сукупності:

$\underset{X}{\int }\sum _{k=1}^n{\varphi }_k(x)\mu (dx)\le C$,

то ряд $\{X_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ сходиться до майже всюди скінченної інтегровної функції і

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{X}{\int }{\varphi }_k(x)\mu (dx)=\underset{X}{\int }\varphi (x)\mu (dx)$.

Формулювання з теорії ймовірностей

Оскільки математичне сподівання випадкової величини визначається як її інтеграл Лебега по простору елементарних подій $\mathrm{\Omega }$, вищенаведена теорема переноситься і в теорію ймовірностей. Нехай $\{X_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ - монотонна послідовність невід'ємних майже напевно інтегровних випадкових величин. Тоді

$𝔼[\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{X}_n]=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}𝔼X_n$.

Література

• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2
• Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла Київ, 1989
• Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. Springer Verlag 2004 ISBN 9781852337810
• D. Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-40605-6