Транспонована матриця

Транспонована матриця — матриця $A^T$, що виникає з матриці $A$ в результаті унарної операції транспонування: заміни її рядків на стовпчики.

Формально, транспонована матриця $A^T=(b_{ij})$ для матриці $A=(a_{ij})$ визначається як

$b_{ij}=a_{ji},i=\overline{1,n},j=\overline{1,m}.$

Наприклад:

${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right]$      та      ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right]$

Властивості

• $(A^{\mathrm{T}}{)}^{\mathrm{T}}=A$ — операція транспонування є інволюцією.
• $(rA{)}^{\mathrm{T}}=r{A}^{\mathrm{T}}$
• $(A+B{)}^{\mathrm{T}}=A^{\mathrm{T}}+B^{\mathrm{T}}$ — транспонування є лінійним відображення матриць розміру m×n в матриці розміру n×m.
• $(AB{)}^{\mathrm{T}}=B^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}$
• $(A^{\mathrm{T}}{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\mathrm{T}}$
• $\det A=\det A^T$
• Власні значення $A^T$ збігаються з власними значеннями $A$.
• Якщо елементи матриці $A$ є дійсними, то матриця $A^{\mathrm{T}}A$ — є невід'ємноозначеною матрицею.

Пов’язані означення

• Квадратна матриця, котра після транспонування переходить сама у себе, називається симетричною матрицею

$A^{\mathrm{T}}=A$

• Квадратна матриця, котра після транспонування переходить в негативну матрицю, називається кососиметричною матрицею

$A^{\mathrm{T}}=-A$

• Матриця транспонована, з елементами заміненими на їх комплексне спряження називається спряженою матрицею відносно початкової матриці

$A^{*}=(\bar{A}{)}^T=\overline{A^T}$

Див. також

• Теорія матриць
• Спряження матриці

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць