Теорема Жордана

Ілюстрація теореми про Жорданову криву. Жорданова крива (чорний) ділить площину на внутрішню (обмежену) область (блакитний) та зовнішню (необмежену) область (рожевий)

У топології, Жорданова крива — це довільна замкнена без самоперетинів крива в площині, інакше відома як проста замкнена крива.

Теорема Жордана стверджує, що кожна Жорданова крива ділить площину на дві області — внутрішню область обмежену кривою і зовнішню, що містить усі ближні і дальні зовнішні точки, причому будь-який шлях, який зв'язує точки з двох областей, перетне цю криву в якійсь точці.

Хоча твердження теореми здається інтуїтивно очевидним, потрібна винахідливість, щоб довести її через елементарні логічні пояснення. Прозоріше доведення покладається на математичні механізми алгебричної топології, і веде до узагальнення для вищих вимірів.

Теорему названо на честь Каміля Жордана, який першим довів її.

Необхідні визначення і твердження теореми

Крива Жордана або проста замкнена крива в площині R² це образ C ін'єктивного неперервного відображення кола в площину, φ: S¹ → R². Жорданова дуга в площині — образ ін'єктивного неперервного відображення замкненого відрізка.

Інакше, жорданова крива — це образ неперервного відображення φ: [0,1] → R² такий, що φ(0) = φ(1) і з обмеженням, що φ в [0,1) є ін'єкцією. Перші дві умови кажуть, що C є неперервною замкненою кривою, тоді як остання вимагає відсутності самоперетинів.

Нехай C — жорданова крива в площині R². Тоді її доповнення, R² \ C, містить рівно дві зв'язні складові. Одна з цих складових є обмеженою множиною (внутрішня область), інша — необмежена (зовнішня область), і крива C є межею кожної зі складових.

Натомість, доповнення жорданової дуги в площині зв'язне.

Доведення

Перші відомі доведення теореми Жордана були аналітичними. Лейтзен Брауер узагальнив теорему на вищі розмірності і дав топологічне доведення із застосуванням ідей теорії гомологій. Подане тут доведення використовує редуковані сингулярні гомології і послідовності Маєра — Вієторіса для них.

Доводиться узагальнення для багатовимірних сфер, яке називають також теоремою Жордана — Брауера. Згідно з цією теоремою, якщо $S^n$ є гіперсферою розмірності n, і $h:S^k\to S^n$ є вкладенням однієї гіперсфери в іншу (тобто h є гомеоморфізмом на свій образ) то редуковані сингулярні гомології простору $S^n\setminus h(S^k)$ є рівними:

${\tilde{H}}_i(S^n\setminus h(S^k))=\{\begin{array}{cc}\mathbb{Z},& i=n-k+1\\ 0,& i\ne n-k+1\end{array}.$

Оскільки для будь-якого простору X нульова редукована група рівна ${\mathbb{Z}}^{j-1}$, де j — кількість компонент лінійної зв'язності простору X , із твердження теореми випливає те, що для будь якого вкладення $h:S^{n-1}\to S^n$ простір $S^n\setminus h(S^{n-1})$ має дві компоненти лінійної зв'язності, а отже дві компоненти зв'язності. Оскільки простір ${ℝ}^n$ є гомеоморфним $S^n$ без одної точки, то й довільне вкладення $h:S^{n-1}\to R^n$ ділить простір ${ℝ}^n$ на дві компоненти зв'язності причому одна є обмеженою, а інша — ні. У випадку $n=2$ кожна жорданова крива є вкладенням $h:S^1\to R^2$ і з теореми Жордана — Брауера випливає теорема Жордана про криві.

Доведення теореми Жордана — Брауера

Доведення використовує властивість, що редуковані сингулярні групи простору $S^n\setminus h(B^k)$ (де $B^k$ — одинична куля розмірності k і $h(B^k)$ теж є вкладенням) є тривіальними. Це можна довести індукцією за розмірністю k. Для k = 0, куля $B^0$ є точкою і $S^n\setminus h(B^0)$ гомеоморфний простору ${ℝ}^n.$ Оскільки ${ℝ}^n$ є стягуваним простором то всі редуковані сингулярні групи ${ℝ}^n$ і тому також $S^n\setminus h(B^0)$ є тривіальними.

Для вищих розмірностей зручніше розглядати замість кулі $B^k$ гомеоморфний їй куб $I^k=[0,1{]}^k$ тої ж розмірності. Нехай твердження доведено для деякого невід'ємного цілого числа $k-1$. Позначимо $A=S^n\setminus h(I^{k-1}\times [0,1/2])$ і $B=S^n\setminus h(I^{k-1}\times [1/2,1]).$ Тоді $A\cup B=S^n\setminus h(I^{k-1}\times \{1/2\})$ і $A\cap B=S^n\setminus h(I^k).$ Згідно з припущенням індукції, всі редуковані сингулярні групи $A\cup B=S^n\setminus h(I^{k-1}\times \{1/2\})$ тривіальні. Тому розглядаючи простір $S^n\setminus h(I^{k-1}\times \{1/2\})$ і його відкриті підмножини $A,B$ у послідовності Маєра — Вієторіса одержуємо, що всі гомоморфізми${\tilde{H}}_i(S^n\setminus h(I^k))\to {\tilde{H}}_{i}A\oplus {\tilde{H}}_{i}B$ є ізоморфізмами. За означенням послідовності Маєра — Вієторіса обидві компоненти цього ізоморфізму ${\tilde{H}}_i(S^n\setminus h(I^k))\to {\tilde{H}}_{i}A$ і ${\tilde{H}}_i(S^n\setminus h(I^k))\to {\tilde{H}}_{i}B$ є породженими відображенням вкладення (з точністю до множення на -1). Тому, якщо $\alpha$ є циклом у $S^n\setminus h(I^k),$ що не є межею в цьому просторі, то $\alpha$ також не є межею хоча б у одному із просторів $A,B.$ Якщо вона не є межею у просторі $A$ то можна ввести простори $A_1=S^n\setminus h(I^{k-1}\times [0,1/4])$ і $B_1=S^n\setminus h(I^{k-1}\times [1/4,1/2]).$ Тоді $A_1\cup B_1=S^n\setminus h(I^{k-1}\times \{1/4\})$ і $A_1\cap B_1=A.$ За допомогою аргументів аналогічних до попередніх одержуємо, що $\alpha$ також не є межею хоча б у одному із просторів $A_1,B_1.$ Продовжуючи надалі такий процес одержуємо послідовність вкладених замкнутих інтервалів $I_m=[\frac{i-1}{2^m},\frac{i}{2^m}],i\in 1,\dots m$ для яких $\alpha$ не є межею у просторах$S^n\setminus h(I^{k-1}\times I_m)$. Згідно з лемою про вкладені відрізки ці інтервали прямують до деякої спільної точки $p\in [0,1].$ Згідно з припущенням індукції усі редуковані сингулярні гомологічні групи простору $S^n\setminus h(I^{k-1}\times \{p\})$ є тривіальними, а тому $\alpha$ є межею, тобто $\alpha =\partial \beta$ для деякого $\beta .$ Але $\beta$ є формальною сумою скінченної кількості сингулярних симплексів із цілими коефіцієнтами. Оскільки й об'єднання скінченної кількості сингулярних симплексів і $h(I^{k-1}\times \{p\})$ є компактними підмножинами сфери, то можна знайти також таке $\epsilon >0,$ що всі сингулярні симплекси із $\beta$ належать простору $S^n\setminus h(I^{k-1}\times [p-\epsilon ,p+\epsilon ])$ але тоді й межа $\beta$ тобто $\alpha$ теж належить простору $S^n\setminus h(I^{k-1}\times [p-\epsilon ,p+\epsilon ])$. Проте для деякого m інтервал $I_m\subset [p-\epsilon ,p+\epsilon ]$. Тоді на $S^n\setminus h(I^{k-1}\times I_m)$ також $\alpha =\partial \beta ,$ що суперечить вибору інтервалу $I.$ Тобто $\alpha$ має бути межею вже в $S^n\setminus h(I^k)$ і тому всі редуковані сингулярні групи цього простору є тривіальними. Це завершує крок індукції і доведення властивості для просторів $S^n\setminus h(B^k)$.

Для доведення твердження для просторів $S^n\setminus h(S^k)$ теж використовують індукцію за розмірністю k. Для k = 0, простір $S^0$ є двома точками і $S^n\setminus h(S^0)$ гомеоморфний $S^{n-1}\times ℝ$ і його редуковані сингулярні групи рівні групам для гіперсфери $S^{n-1},$ тобто ${\tilde{H}}_{n-1}(S^n\setminus h(S^0))=\mathbb{Z}$ і всі інші редуковані сингулярні групи тривіальні. Тобто твердження теореми в цьому випадку є істинним.

Припустимо, що теорему доведено для деякого невід'ємного цілого числа $k-1$. Сферу $S^k$ можна подати як об'єднання двох півсфер $S_{+}^k$ і $S_{-}^k$(гомеоморфних кулі $B^k$) перетин яких рівний $S^{k-1}.$ Позначимо $A=S^n\setminus h(S_{+}^k)$ і $B=S^n\setminus h(S_{-}^k).$ Тоді $A\cup B=S^n\setminus h(S^{k-1})$ і $A\cap B=S^n\setminus h(S^k).$ Також із попереднього всі редуковані сингулярні групи просторів $A,B$ тривіальні. Підставляючи простори у послідовність Маєра — Вієторіса одержуємо ізоморфізми ${\tilde{H}}_i(S^n\setminus h(S^k)\simeq {\tilde{H}}_{i+1}(S^n\setminus h(S^{k-1}).$ Але за припущенням індукції ${\tilde{H}}_{n-k+2}(S^n\setminus h(S^{k-1})=\mathbb{Z}$ і всі інші редуковані сингулярні групи для $S^n\setminus h(S^{k-1})$ є тривіальними. Тому з одержаного ізоморфізму ${\tilde{H}}_{n-k+1}(S^n\setminus h(S^k)=\mathbb{Z}$ і всі інші редуковані сингулярні групи для $S^n\setminus h(S^k)$ тривіальні, що й треба було довести.

Див. також

• Крива Осгуда

Посилання

• Шаблон:Springer Шаблон:Ref-en
• Повне, в 6,500 рядків, формальне доведення теореми Жордана на Mizar Шаблон:Ref-en
• Підбірка доведень теореми Жордана Шаблон:Ref-en
• Просте доведення теореми Жордана (PDF)Шаблон:Ref-en