Послідовність Маєра — Вієторіса

Послідовність Маєра — Вієторіса — довга точна послідовність, яка пов'язує гомології чи когомології топологічного простору з гомологіями чи когомологіями двох відкритих множин, що його покривають і їх перетину.

Названа на честь двох австрійських математиків, Вальтера Маєра і Леопольда Вієторіса.

Послідовність Маєра — Вієторіса є натуральною.

Послідовність Маєра — Вієторіса можна написати для різних теорій (ко)гомологій, зокрема сингулярних а також для всіх теорій, які задовольняють аксіоми Ейленберга — Стінрода. Вона також узагальнюється на випадок відносних (ко)гомологій.

Послідовність Маєра — Вієторіса є аналогом теореми Зейферта — Ван Кампена для фундаментальної групи.

Формулювання

Припустимо, що топологічний простір X є рівним об'єднанню відкритих підмножин A і B. Тоді отримується точна послідовність, що і називається послідовністю Маєра — Вієторіса:

$\begin{array}{cc}\cdots \to H_{n+1}(X)& \stackrel{{\partial }_{*}}{\to }{H}_n(A\cap B)\stackrel{(i_{*},j_{*})}{\to }{H}_n(A)\oplus H_n(B)\stackrel{k_{*}-l_{*}}{\to }{H}_n(X)\stackrel{{\partial }_{*}}{\to }\\ & \stackrel{{\partial }_{*}}{\to }{H}_{n-1}(A\cap B)\to \cdots \to H_0(A)\oplus H_0(B)\stackrel{k_{*}-l_{*}}{\to }{H}_0(X)\to 0.\end{array}$

Відображення $i:A\cap B\to A$, $j:A\cap B\to B$, $k:A\to X$, $l:B\to X$ є відображеннями включення і $\oplus$ позначає пряму суму абелевих груп.

Відображення границі

Відображення границі ∂_* може бути задане в такий спосіб. Нехай елемент в H_n (X) представляється n-циклом х, який, при застосуванні барицентричного поділу наприклад, може бути записаний як сума двох n-ланцюгів u і v образи яких лежать повністю в A і B, відповідно. Таким чином, ∂х = ∂(u + v) = 0, так що ∂u = -∂v. Це означає, що образи обох цих граничних (n-1)-циклів містяться в перетині A∩B. Тоді ∂_*([X]) це клас ∂u в H_n-1(A∩B). При цьому вибір розкладу u + v не впливає на [∂u].

Відображення в послідовності залежать від вибору порядку для A і B. Зокрема, границя змінює знак, якщо A і B міняються місцями.

Редуковані гомології

Для редукованих гомологій також задовольняють послідовності Маєра — Вієторіса, в припущенні, що A І B мають непорожній перетин. Послідовність ідентична але закінчується, як:

$\cdots \to {\tilde{H}}_0(A\cap B)\stackrel{(i_{*},j_{*})}{\to }{\tilde{H}}_0(A)\oplus {\tilde{H}}_0(B)\stackrel{k_{*}-l_{*}}{\to }{\tilde{H}}_0(X)\to 0.$

Відносні гомології

Для відносних гомологій послідовність Маєра — Вієторіса записується як:

$\cdots \to H_n(A\cap B,C\cap D)\stackrel{(i_{*},j_{*})}{\to }{H}_n(A,C)\oplus H_n(B,D)\stackrel{k_{*}-l_{*}}{\to }{H}_n(X,Y)\stackrel{{\partial }_{*}}{\to }{H}_{n-1}(A\cap B,C\cap D)\to \cdots$

Приклади використання

Гомологія сфери

розклад сфери

Щоб обчислити гомології k-вимірної сфери S^k , нехай A і B півсфери в X з перетином гомотопічно еквівалентним (k−1)-вимірній екваторіальній області. Оскільки k-вимірні півкулі є гомеоморфними k-вимірним кулям, групи гомологій A і B є тривіальними. Натомість їх перетин гомотопічно еквівалентний сфері розмірності (k−1).

Послідовність Маєра — Вієторіса має вигляд
$\cdots \to 0\to {\tilde{H}}_n\left(S^k\right)\stackrel{{\partial }_{*}}{\to }{\tilde{H}}_{n-1}\left(S^{k-1}\right)\to 0\to \cdots$

З точності послідовності випливає, що гомоморфізм ∂_* є ізоморфізмом. Використовуючи редуковані гомології для 0-сфери (двох точок) в якості бази математичної індукції, одержуємо
${\tilde{H}}_n\left(S^k\right)\cong {\delta }_{kn}\mathbb{Z}=\{\begin{array}{cc}\mathbb{Z}& n=k\\ 0& n\ne k\end{array}$

Пляшка Клейна

Розклад Пляшки Клейна на дві стрічки Мебіуса, червону і синю.

Для обчислення гомологій пляшки Клейна, запишемо її, як об'єднання двох стрічок Мебіуса A і B склеєних уздовж їх граничної кола . Тоді A, B і їх перетин A∩ B є гомотопно еквівалентними колу. Нетривіальна частина послідовності дає

$0\to H_2(X)\to \mathbb{Z}\stackrel{\stackrel{}{\alpha }}{\to }\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\to H_1(X)\to 0$

а з інших елементів послідовності випливає рівність нулю гомологій розмірностей більше, ніж 2. Образом 1 при відображенні α є (2, −2) оскільки граничне коло стрічки Мебіуса двічі обертається навколо центрального кола. Зокрема α є ін'єктивним відображенням, тож гомологічна група розмірності 2 також є нульовою. Нарешті, вибираючи (1, 0) і (1, -1) як базис для Z², отримуємо
${\tilde{H}}_n\left(X\right)\cong {\delta }_{1n}(\mathbb{Z}\oplus {\mathbb{Z}}_2)=\{\begin{array}{cc}\mathbb{Z}\oplus {\mathbb{Z}}_2& n=1\\ 0& n\ne 1\end{array}$

Тор

Відображення границі ∂_* на торі, де 1 цикл x = u + v — сума двох 1-ланцюгів, границя якої лежить в перетині A і B.

Нехай

$X={𝐓}^n=S^1\times S^1$

— звичайний тор. Тоді X = A∪B, де A і B є відкритими підмножинами як зображено на малюнку.

Множини A і B є гомотопно еквівалентними колу і тому їх групи гомологій рівні групам гомологій кола. Натомість A∩B є гомотопно еквівалентним двом окремим колам і тому його групи гомологій є рівними прямим сумам груп для двох кіл. Також ${\tilde{H}}_0(X)\simeq \mathbb{Z}.$

Нетривіальна частина послідовності для редукований гомологій має вигляд

$0\to {\tilde{H}}_2(X)\to \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\stackrel{\stackrel{}{\alpha }}{\to }\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\stackrel{\stackrel{}{\beta }}{\to }{\tilde{H}}_1(X)\stackrel{\stackrel{}{{\partial }^{*}}}{\to }\mathbb{Z}\to 0$

а з інших елементів послідовності випливає рівність нулю гомологій розмірностей більше, ніж 2.

Відображенні α задане як $\alpha (n,m)=(n+m,-n-m)$. Ядром цього відображення є підгрупа елементів виду (n, -n), яка є ізоморфною групі цілих чисел. Звідси також ${\tilde{H}}_2(X)\simeq \mathbb{Z}.$

Образ відображення α відповідно теж є ізоморфним групі цілих чисел, як і образ і ядро відображення β.Як наслідок ядро і образ гомоморфізму ∂_* теж є ізоморфним групі цілих чисел і відповідно ${\tilde{H}}_1(X)\simeq \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}.$

Остаточно:

${\tilde{H}}_n(S^1\times S^1)=\{\begin{array}{cc}\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}& n=1\\ \mathbb{Z}& n=2\\ 0& n\ne 1,2\end{array}$

Букет просторів

Розклад простору X — букета двох сфер сфер K and L. Цей розклад дозволяє обчислити гомологічну групу простору X.

Нехай X буде букет двох просторів K і L, і припустимо, крім того, що виділена точка є деформаційним ретрактом з відкритих околів U ⊂ K і V ⊂ L. Позначивши A = K∪V і B = U∪L одержуємо, що A∪B = X and A∩B = U∪V, які є стягуваними просторами згідно означень. Тоді із редукованої версії послідовності одержуємо:

${\tilde{H}}_n(K\vee L)\cong {\tilde{H}}_n(K)\oplus {\tilde{H}}_n(L)$

для всіх розмірностей n.

На малюнку показаний букет двох сфер. Для цього конкретного випадку, використовуючи результат вище для 2-сфер:

${\tilde{H}}_n(S^2\vee S^2)\cong {\delta }_{2n}(\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z})=\{\begin{array}{cc}\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}& n=2\\ 0& n\ne 2\end{array}$

Надбудови

Якщо простір X є надбудовою SY простору Y, нехай A і B позначають доповнення у X верхньої і нижньої вершин. Тоді X є рівним A∪B і A з B є стягуваними просторами. Перетин A∩B є гомотопно еквівалентним простору Y. Тому із послідовності Маєра — Вієторіса випливає, що для всіх n,

${\tilde{H}}_n(SY)\cong {\tilde{H}}_{n-1}(Y)$

This decomposition of the suspension X of the 0-sphere Y yields all the homology groups of X.

На малюнку справа показано, що коло X є надбудовою простору Y двох точок. Загалом k-сфера є надбудовою (k − 1)-сфери і звідси знову можна отримати вираз для гомологічних груп сфер.

Натуральність

Якщо ƒ є неперервним відображенням із X₁ у X₂, то існує гомоморфізм ƒ_∗ гомологічних груп ƒ_∗ : H_k(X₁) → H_k(X₂) і при цьому $(g\circ h{)}_{*}=g_{*}\circ h_{*}$.

Подібно, якщо X₁ = A₁∪B₁ і X₂ = A₂∪B₂ і для відображення ƒ виконуються умови ƒ(A₁) ⊂ A₂ іƒ(B₁) ⊂ B₂, тоді граничний гомоморфізм ∂_∗ послідовності Маєра — Вієторіса комутує з ƒ_∗. Інакше кажучи отримується така комутативна діаграма:

$\begin{array}{cccccccccccc}\cdots & H_{n+1}(X_1)& \to & H_n(A_1\cap B_1)& \to & H_n(A_1)\oplus H_n(B_1)& \to & H_n(X_1)& \to & H_{n-1}(A_1\cap B_1)& \to & \cdots \\ & f_{*}\downarrow & & f_{*}\downarrow & & f_{*}\downarrow & & f_{*}\downarrow & & f_{*}\downarrow \\ \cdots & H_{n+1}(X_2)& \to & H_n(A_2\cap B_2)& \to & H_n(A_2)\oplus H_n(B_2)& \to & H_n(X_2)& \to & H_{n-1}(A_2\cap B_2)& \to & \cdots \end{array}$

Література

• Шаблон:Citation.