Точна послідовність

Точна послідовність — поняття в математиці, зокрема в теорії груп, модулів та кілець, в гомологічній алгебрі, диференціальній геометрії.

Визначення

Точна послідовність — послідовність об'єктів та морфізмів між ними

$G_0\stackrel{f_1}{\to }{G}_1\stackrel{f_2}{\to }{G}_2\stackrel{f_3}{\to }\cdots \stackrel{f_n}{\to }{G}_n$

така що, образ одного морфізму рівний ядру наступного:

$\mathrm{i}\mathrm{m}(f_k)=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(f_{k+1})$

Коротка точна послідовність

Найбільш поширеною є коротка точна послідовність

$A\stackrel{f}{\hookrightarrow }B\stackrel{g}{\twoheadrightarrow }C$

деƒ є мономорфізмом, а g є епіморфізмом. В цьому випадку, A є підоб'єктом B, і відповідна частка ізоморфна до C:

$C\cong B/f(A)$

(де f(A) = im(f)).

Коротка точна послідовність абелевої групи може бути запичана як:

$0\stackrel{}{\to }A\stackrel{f}{\to }B\stackrel{g}{\to }C\stackrel{}{\to }0$

де 0 означає нульовий об'єкт, такий як тривіальна група. Присутність 0 вимагає від ƒ бути мономорфізмом, а від g бути ефіморфізмом.

Якщо невідомо чи об'єкти є абелевими, тоді застосовується мультиплікативна нотація і використовується "1" замість "0". В цьому випадку запис виглядатиме:

$1\stackrel{}{\to }A\stackrel{f}{\to }B\stackrel{g}{\to }C\stackrel{}{\to }1$

Приклади

Розглянемо послідовність абелевих груп:

$\mathbb{Z}\stackrel{2\cdot }{\hookrightarrow }\mathbb{Z}\twoheadrightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$

• Перша операція є множенням цілих чисел на 2. Стрілка $\hookrightarrow$ позначає, що це є мономорфізм.
• Друга операція визначає факторгрупу по модулю 2. Стрілка $\twoheadrightarrow$ позначає, що це є епіморфізм.

Це є точною послідовністю, бо образ 2Z мономорфізму є ядром епіморфізму. Також це може бути записано як:

$2\mathbb{Z}\hookrightarrow \mathbb{Z}\twoheadrightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$

$0\to \mathbb{Z}\stackrel{2\cdot }{\to }\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to 0$

Див. також

• Теорема про гомоморфізми
• Теореми про ізоморфізми

Джерела

• Шаблон:PlanetMath reference
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld