Надбудова (топологія)

Шаблон:Otheruses У топології, надбудовою над топологічним простором X називається топологічний простір SX, що є фактором добутку $X\times [0,1]$ по відношенню еквівалентності $(x,0)\sim (x^{\prime },0),(x,1)\sim (x^{\prime },1)$:

$SX=(X\times [0,1])/\{\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in X(x_1,0)\sim (x_2,0),(x_1,1)\sim (x_2,1)\}$

Надбудова над колом. Початковий простір позначено синім кольором, верхню і нижню точки зеленим.

Надбудову можна уявляти як циліндр над простором X, у якому ототожнили в точку як верхню, так і нижню межу. Також можна розглядати надбудову як об'єднання двох конусів (верхнього і нижнього) над простором X, склеєних по спільній основі.

Властивості

• Надбудова над простором X гомеоморфна джойну $X\star S^0$ простору X і двоточкової множини («нульвимірної сфери») $S^0$.
• Будь-яке неперервне відображення $f:X\to Y$ продовжується до неперервного відображення $Sf:SX\to SY$ за правилом $Sf(x,t)=(f(x),t)$.
• Гомологія надбудови є тісно пов'язаною з гомологією вихідного простору, відрізняючись (за винятком нульвимірних просторів) фактично зміщенням на одну розмірність. А саме:

$\mathrm{\forall }n\ge 1,H_{n+1}(SX)=H_n(X),H_0(X)=H_1(SX)\oplus \mathbb{Z},H_0(SX)=\mathbb{Z}.$

Приведені гомології зміщуються рівно на одну розмірність:

$\mathrm{\forall }n\ge 0,{\tilde{H}}_{n+1}(SX)={\tilde{H}}_n(X),{\tilde{H}}_0(SX)=0.$

• Якщо топологічний простір X є CW-комплексом, то SX теж є CW-комплексом.
• S є функтором із категорії топологічних просторів у себе.

Редукована надбудова

Редукованою (або зведеною) надбудовою топологічного простору з виділеною точкою (X, x₀) називається фактор-простір $X\times [0,1]$ по відношенню еквівалентності $(x,0)\sim (x^{\prime },0)\sim (x^{″},1)\sim (x_0,t)$, де $x,x^{\prime },x^{″}\in X$ — довільні точки і $t\in [0,1]$ — будь-яке число в інтервалі.

Редукована надбудова позначається ΣX і її можна уявити як простір SX у якому лінія {x₀} × I , що сполучає верхню і нижню точки, стягується в одну точку.

Властивості

• Редукована надбудова простору X є гомеоморфною смеш-добутку простору X і одиничного кола S¹ :

$\mathrm{\Sigma }X=S^1\wedge X$

більш загально:

${\mathrm{\Sigma }}^{n}X=S^n\wedge X.$

Перший гомеоморфізм одержується із композиції відображень

$X\times [0,1]\stackrel{1\times e^{2\pi it}}{\to }X\times S^1\stackrel{p}{\to }X\wedge S^1$,

де $e^{2\pi it}:[0,1]\to S^1$ позначає стандартне відображення із одиничного відрізка на одиничне коло (що розглядається на комплексній площині), а $p$ є проєкцією із добутку $X\times S^1$ на фактор-простір $X\wedge S^1=(X\times S^1)/(X\vee S^1).$

Ця композиція відображень переводить усі точки $(x,0),(x^{\prime },1),(x_0,t)$ у виділену точку смеш-добутку, отже задає відображення на редукованій надбудові. Це відображення є гомеоморфізмом.

Загальний гомеоморфізм одержується індукцією із використанням гомеоморфізмів $S^n=S^1\wedge S^{n-1}$ і асоціативності смеш-добутку, якщо лівий і середній із трьох множників є компактними і гаусдорфовими.

• Для багатьох важливих топологічних просторів, зокрема CW-комплексів, редукована надбудова є гомотопно еквівалентною звичайній.
• Σ є функтором з категорії топологічних просторів із виділеною точкою у себе. Він є спряженим зліва до функтора, що переводить топологічний простір X в його простір петель ΩX, тобто є природний ізоморфізм:

${\text{Hom}}_{*}(\mathrm{\Sigma }X,Y)\simeq {\text{Hom}}_{*}(X,\mathrm{\Omega }Y).$

Див. також

• Джойн (топологія)
• Конус (топологія)
• Смеш-добуток

Література

• Allen Hatcher, Algebraic topology. Шаблон:Webarchive Cambridge University Presses, Cambridge, 2002. xii+544 pp. Шаблон:Isbn and Шаблон:Isbn