Диференціальне та інтегральне числення

Шаблон:Calculus Диференціальне та інтегральне числення (Шаблон:Lang-en, від Шаблон:Lang-la, дослівно «невеликий камінчик» — такий, що в рахівницях, який використовувався для підрахунку) — розділ математики, що вивчає збіжності послідовностей і рядів, неперервні дійсні функції й диференціальне та інтегральне числення дійсних функцій однієї змінної. Традиційно в інших країнах курс «числення» є вступом до математичного аналізу та інших курсів, які використовують диференціальне й інтегральне числення.

Диференціальне та інтегральне числення вивчає змінні, як геометрія вивчає форми, а алгебра — операції та їх застосування для розв'язання рівнянь. Його широко застосовують у науці, економіці й інженерії, до того ж використовують під час розв'язання багатьох задач, для яких однієї алгебри недостатньо.

Історично склалося так, що диференціальне та інтегральне числення називали «численням нескінченно малих». Прикладами інших відомих числень є: числення висловлювань, варіаційне числення, лямбда-числення тощо.

Історія

Сучасна теорія диференціального числення була розроблена в 17-му столітті в Європі Ісааком Ньютоном і Готфрідом Вільгельмом Лейбніцем (незалежно один від одного, і публікували це вперше приблизно в однаковий час), але елементи цієї теорії з'явилися ще в стародавній Греції, потім в Китаї і Середньому Сході, і згодом знов у середньовічній Європі і Індії.

Стародавні часи

Архімед використав метод вичерпування для розрахунку площі під кривою параболи.

В стародавньому періоді історії з'явилися деякі ідеї, які згодом привели до появи інтегрального числення, але ці ідеї не розвинулися у точну і систематизовану теорію. Розрахунок об'єму і площі, що є однією із задач інтегрального числення, було знайдено у одному з єгипетських математичних папірусів (13-ї династії, близько 1820 р. до н.е.), але наведені формули є простими інструкціями, без описання методу, і в ньому бракує деяких основних компонент. В епоху давньогрецьких математиків, Евдокс (близько 408–355 р. до н.е.) використовував метод вичерпування, що є попередником поняття границі, для розрахунку площ і об'ємів, а Архімед (близько 287–212 до н.е.) Шаблон:Нп, і заснував методи евристики, які нагадують методи інтегрального числення. Метод вичерпування згодом незалежно від того було відкрито в Китаї математиком Лю Хуей у 3-му столітті н.е. для того, щоб знайти площу кола. В 5-му столітті н.е., Шаблон:Нп, син Цзу Чунчжи, заснував методдля знаходження об'єму сфери, який згодом назвали принципом Кавальєрі.

Середньовіччя

У Середньому Сході, Ібн аль-Хайсам (близько 965 – 1040 н.е.) отримав формулу для суми четвертих степенів. Він отримав результат, який би зараз назвали інтегруванням функції, і використав цю отриману формулу для розрахунку об'єму параболоїда. В 14-му столітті, індійські математики створили не строгий метод, що нагадує диференціювання, що застосовувався до деяких тригонометричних функцій. Таким чином, Мадхава із Сангамаграми і Керальська школа астрономії та математики започаткували елементи числення. Повна теорія, яка містить ці компоненти тепер добре відома Західному світу як Ряд Тейлора або наближення нескінченних рядів. Однак, вони не змогли "об'єднати багато з цих різних ідей за допомогою двох загальних тепер понять похідної і інтеграла, показати зв'язок між ними двома, і не змогли перетворити числення у потужній інструмент вирішення задач, який ми маємо сьогодні".

Сучасні часи

В Європі фундаментальною роботою в цьому напряму був трактат Бонавентура Кавальєрі, який запропонував, що об'єми і площі треба розраховувати як суму об'ємів і площ нескінченно тонких розділених частин. Ідеї були схожими на ідеї Архімеда в праці Шаблон:Нп, але вважають що цей трактат було втрачено в 13-му столітті, і його знову було знайдено на початку 20-го століття, тому Кавальєрі він був не відомим. Роботу Кавальєрі спочатку не набула загального визнання, оскільки його метод міг призвести до неправильних результатів, а нескінченно малі які він запропонував спочатку не сприйняті.

Приблизно в той самий час, разом із формальним дослідженням числення нескінченно малих Кавальєрі в Європі розвивалося поняття числення скінченних різниць. П'єр Ферма, стверджуючи що позичив це у Діофанта, запропонував поняття Шаблон:Нп, що означало рівність до деякої нескінченно малої похибки. Поєднати це змогли Джон Валліс, Ісаак Барроу, і Джеймс Грегорі, які згодом довели другу частину фундаментальної теореми числення близько 1670 р.

Ісаак Ньютон дослідив і використав числення у своїй роботі з законів динаміки і гравітації.

Такі поняття як правило добутку і ланцюгове правило, нотації похідних вищого порядку і ряди Тейлора, і аналітичні функції були запропоновані Ісааком Ньютоном у вигляді ідиосинкратичної нотації, яку Ньютон використовував для вирішення задач математичної фізики. У своїй роботі, Ньютон перефразував свої ідеї так, щоб вони відповідали математичним ідіомам того часу, замінивши розрахунки нескінченномалих еквівалентними геометричними аргументами, які, як вважалося, були поза сумнівами. Він використав методи числення для вирішення задачі руху планет, форми поверхні рідини, яка обертається, сплющеності Землі, переміщення ваги, що рухається по циклоїді, і для багатьох інших задач, що описав у своїй роботі з Начал математики (1687). В іншій роботі, він дослідив розкладання функцій за допомогою рядів, включаючи дробові і ірраціональні степені, і було очевидно, що він зрозумів принципи рядів Тейлора. Він не опублікував ці дослідження, і в той час методи числення нескінченномалих досі піддавалися дискусіям.

Готфрід Вільгельм Лейбніц був першим, хто опублікував свої результати з дослідження методів числення.

Готфрід Вільгельм Лейбніц впорядкував ці ідеї у справжнє числення нескінченномалих, хоча спочатку його звинувачували в плагіаті Ньютона. Тепер його вважають незалежним розробником, що вніс свій вклад в розвиток числення. Його вкладом було те, що він надав чіткий набір правил для роботи із нескінченномалими величинами, що дозволили розраховувати похідні другого і вищих порядків, і сформулював правило добутку і ланцюгове правило, в диференційній і інтегральній формах. На відміну від Ньютона, Лейбніц приділив увагу формалізму, часто витрачаючи на це цілі дні для пошуку правильних позначень для понять.

Сьогодні, обидва Лейбніц і Ньютон відзначені за свій незалежний вклад у започаткуванні числення. Ньютон був першим, хто застосував методи числення до загальної фізики, а Лейбніц розробив більшість нотацій, що використовуються сьогодні. Базовими уявленнями, які сформулювали обидва Ньютон і Лейбніц були правила диференціювання і інтегрування, похідні другого і вищих порядків, і нотації наближення за допомогою поліноміальних рядів. За часів Ньютона фундаментальна теорема числення вже була відома.

Коли Ньютон і Лейбніц опублікували вперше свої результати, відбулася велика суперечка щодо того, хто з математиків заслужив визнання за відкриття. Ньютон отримав свої результати першим (і згодом опублікував у роботі Метод флюксій), але Лейбніц опублікував свою роботу "Шаблон:Нп" раніше за нього. Ньютон звинуватив Лейбніца, що той вкрав його ідеї з його не опублікованих записів, якими Ньютон поділився із декількома членами Лондонського королівського товариства. Ця полеміка розділяла англомовних математиків від математиків континентальної Європи багато років, що завдало шкоди англійській математиці. Уважне вивчення статей Лейбніца і Ньютона показує, що вони прийшли до своїх результатів незалежно, і в них Лейбніц спершу почав із інтегрування а Ньютон з диференціювання. Однак саме Лейбніц дав цій новій дисципліні її сучасну назву. Ньютон називав це "наукою про флюксії".

Із часів Лейбніца і Ньютона, багато математиків зробили свій внесок в розвиток числення. Одну із перших і більш повних робіт із числення нескінченномалих і інтегрального числення написала Марія Ґаетана Аньєзі в 1748 р..

Марія Ґаетана Аньєзі

Основоположення

Границі і нескінченно малі

Шаблон:Main Методи числення зазвичай розвивалися при роботі із дуже малими значеннями. Історично, перші методи, за допомогою яких це вирішувалося, вивчали нескінченно малі величини. Це такі об'єкти, які можна розглядати як дійсні числа, але які, в деякому сенсі, є "нескінченно малими". Наприклад, нескінченно мале може бути більшим за 0, але меншим за будь-яке число у послідовності 1, 1/2, 1/3, ... і таким чином менше ніж будь-яке додатне дійсне число. З цієї точки зору, числення це набір методів з маніпуляції нескінченно малими. Позначення dx і dy були прийняті для описання нескінченно малої, а похідна $dy/dx$ є їх відношенням.

Підхід із використанням нескінченно малих перестав бути популярним в 19-му столітті, оскільки було важко точно сформулювати поняття нескінченно малої. Однак, поняття було відроджене в 20-му столітті із появою нестандартного аналізу і Шаблон:Нп, які заклали основи для операцій над нескінченно малими.

В 19-му столітті, принцип нескінченно малих замінив підхід із величинами епсилон і дельта, що застосовується до границь. Границі описують значення функції у певній точці у термінах її значень у сусідніх точках. Вони задають поведінку у малому проміжку у контексті системи дійсних чисел. З цієї точки зору, числення є набором технік із маніпуляції певними границями. Нескінченно малі були замінені дуже малими числами, а нескінченно мала поведінка функції досліджується шляхом вивчення поведінки границі для все менших і менших чисел. Границі були першим інструментом, що забезпечив основи методів числення, і з цієї причини вони стали стандартними методами.

Диференціальне числення

Дотична у точці Шаблон:Math. Похідна Шаблон:Math кривої у точці є нахилом (вверх або вниз) дотичної прямої до кривої в цій точці.

Похідна Шаблон:Math кривої у точці є нахилом дотичної прямої до цієї кривої у заданій точці. Цей нахил визначається граничним значенням нахилу січних прямих. Функція, яка зображена (намальована червоним) є Шаблон:Math. Дотична пряма (зелена), що походить через точку Шаблон:Nowrap має коефіцієнт нахилу 23/4. Зауважте, що вертикальний і горизонтальний масштаб зображення є різним.

Диференціальне числення це наука що визначає, вивчає властивості і застосування похідної функції. Процедура знаходження похідної називається диференціюванням. Дано функцію і точку у деякій області визначення, похідна у точці є способом представлення поведінки функції у малому масштабі в околі цієї точки. Якщо знайти похідну функції в кожній точці її області визначення, можна утворити нову функцію, що називається похідною функцією або просто похідною початкової функції. Формально, похідна є лінійним оператором, що приймає функцію на вхід і утворює іншу функцію в результаті. Це є складнішою абстракцією ніж значна кількість процесів, які вивчає елементарна алгебра, де функції зазвичай приймають на вхід число і повертають інше число. Наприклад, якщо функції подвоєння подати на вхід число три, тоді її результатом буде число шість а якщо функції піднесення в квадрат подати на вхід число три, результатом буде число дев'ять. Однак, похідна може прийняти на вхід функцію піднесення у квадрат. Це означатиме, що похідна обраховує всю інформацію про цю функцію—те що два в квадраті буде чотири, три в квадраті буде дев'ять, чотири — шістнадцять, і так далі—і використовує цю інформацію для утворення нової функції. Функція, що утворена в результаті диференціювання функції піднесення в квадрат, буде функцією подвоєння.

У більш зрозумілій формі «функцію подвоєння» можна позначити як Шаблон:Math а «піднесення у квадрат» як Шаблон:Math. «Похідна» приймає на вхід функцію Шаблон:Math, що визначена виразом «Шаблон:Math», що є всією необхідною інформацією—про те що два в квадраті це чотири, три в квадраті це дев'ять або чотири в квадраті це шістнадцять і так далі— і використовую цю інформацію для утворення іншої функції, в результаті буде функція Шаблон:Math.

Найбільш широко вживаним символом для позначення похідної є знак подібний до апострофа, що називається штрих. Таким чином, похідна функції, що названа як Шаблон:Math буде позначатися якШаблон:Math, що вимовляється як «f штрих». Наприклад, якщо Шаблон:Math є функцією піднесення в квадрат, тоді Шаблон:Math є її похідною (функція подвоєння Шаблон:Math, що згадувалася вище). Така нотація називається нотацією Лагранжа.

Якщо входом функції буде час, тоді похідна означатиме зміну із часом. Наприклад, якщо Шаблон:Math є функцією, яка приймає на вхід час і повертає позицію кулі у цей час як результат, тоді похідною Шаблон:Math є те наскільки позиція зміниться з часом, тобто це є швидкістю кулі.

Якщо функція є лінійною (тобто, якщо графіком функції є пряма лінія), тоді цю функцію можна записати у загальному вигляді як Шаблон:Math, де Шаблон:Math є незалежною змінною, Шаблон:Math є залежною змінною, Шаблон:Math є значення у якому функція перетинає вісь y, і:

$m=\frac{\text{зміна по }y}{\text{зміна по }x}=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}.$

Це дає точне значення нахилу прямої лінії. Якщо графіком функції не є пряма лінія, тоді різниця по Шаблон:Math поділена на різницю по Шаблон:Math є змінною. Похідна дає точне значення для зміни у виході функції по відношенню до зміни її входу. Аби конкретизувати це, нехай Шаблон:Math є функцією, і виберемо деяку фіксовану точку Шаблон:Math в області визначення Шаблон:Math. Шаблон:Math є точкою на графіку функції. Якщо Шаблон:Math є деяким числом близьким до нуля, тоді Шаблон:Math є числом близьким до Шаблон:Math. Таким чином, Шаблон:Math є близьким до Шаблон:Math. Коефіцієнтом нахилу відрізку між цими двома точками буде

$m=\frac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$

Цей вираз називають Шаблон:Нп. Пряма через дві точки кривої називається січною, тому Шаблон:Math є нахилом січної лінії між Шаблон:Math і Шаблон:Math. Січна лінія є лише наближенням поведінки функції у точці Шаблон:Math оскільки, вона не враховує що відбувається між Шаблон:Math і Шаблон:Math. Не можливо дослідити поведінку функції в точці Шаблон:Math, якщо задати Шаблон:Math рівним нулю, оскільки це потребуватиме ділення на нуль, яке не є визначеним. Похідна визначається за допомогою знаходження границі при тому як Шаблон:Math прямує до нуля. Це означає, що розглядається поведінка Шаблон:Math для всіх малих значень Шаблон:Math, крім розгляду випадку коли значення Шаблон:Math дорівнює нулю:

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$

Геометрично, похідна є нахилом дотичної прямої до графіка Шаблон:Math в точці Шаблон:Math. Дотична пряма є границею січних прямих як і сама похідна, яка є границею відношення приростів. Тому, похідну іноді називають крутизною або приростом функції Шаблон:Math.

Наведемо конкретний приклад, похідної квадратичної функції при вхідному значенні 3. Нехай Шаблон:Math є квадратичною функцією.

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(3)& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(3+h{)}^2-3^2}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{9+6h+h^2-9}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{6h+h^2}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }(6+h)\\ & =6.\end{array}$

Коефіцієнт нахилу дотичної прямої до квадратичної функції в точці (3, 9) дорівнює 6, через це можна сказати, що функція зростає в на порядок у шість разів із тим, як вона проходить праворуч. Описаним методом, границю можна знайти для кожної точки із області визначення квадратичної функції. Це визначає похідну функцію квадратичної функції. Розрахунок схожий на приведений вище показує, що похідна квадратичної функції є функцією подвоєння.

Нотація Лейбніца

Загальною нотацією, яку запропонував Лейбніц, для похідної у вищенаведеному прикладі є наступний запис:

$\begin{array}{cc}y& =x^2\\ \frac{dy}{dx}& =2x.\end{array}$

Відповідно до підходу, що оснований на границях, символ Шаблон:Math необхідно інтерпретувати не як відношення двох чисел, але як скорочене представлення тієї границі, що розраховувалася вище. Проте, Лейбніц, мав намір представити його саме у вигляді відношення двох нескінченно малих чисел, Шаблон:Math є нескінченно малим приростом або зміною Шаблон:Math, що спричинений нескінченно малим приростом Шаблон:Math застосованого до Шаблон:Math. Ми також можемо вважати Шаблон:Math диференційним оператором, який приймає функцію на вхід і повертає результат у вигляді іншої функції, похідну. Наприклад:

$\frac{d}{dx}(x^2)=2x.$

При даному застосуванні, Шаблон:Math у знаменнику буде читатися: "по відношенню до Шаблон:Math". Навіть, якщо числення виникло із застосування границь, а не нескінченно малих, маніпулювання символами типу Шаблон:Math і Шаблон:Math так, ніби вони є дійсними числами є загальноприйнятим; хоча такі маніпуляції можливо уникати, вони іноді є зручними для визначення операцій із повною похідною та ін..

Інтегральне числення

Інтегральне числення вивчає визначення, властивості, і застосування двох пов'язаних між собою понять, невизначеного інтегралу і визначеного інтегралу. Процес знаходження значення інтеграла називають інтегруванням. Технічною мовою, інтегральне числення вивчає два пов'язані лінійні оператори.

Невизначений інтеграл, також відомий як первісна, і є оберненою операцією до диференціювання. Шаблон:Math є невизначеним інтегралом над Шаблон:Math, коли Шаблон:Math є похідною Шаблон:Math. (Таке використання літер у нижньому і верхньому регістрах є загальним позначенням у численні.)

Визначений інтеграл приймає на вхід функцію і повертає число, який повертає алгебраїчну суму площі між графіком вхідної функції і x-віссю. Технічне визначення визначеного інтегралу включає поняття границі суми площ прямокутників, що називається сумою Рімана.

Стала швидкість

Інтегрування можна інтерпретувати як вимірювання площі під кривою, що задана функцією Шаблон:Math, на відрізку між двома точками (Шаблон:Math і Шаблон:Math).

Мотивуючим прикладом є пройдена відстань за заданий час.

$\text{Відстань}=\text{Швидкість}\cdot \text{Час}$

Якщо швидкість не змінюється, результат можна отримати лише множенням, але якщо швидкість є змінною, необхідний більш складний метод визначення відстані. Одним із методів є апроксимувати пройдену відстань розбивши часові інтервали на багато коротких інтервалів часу, потім помноживши проміжок часу цього інтервалу на деяку швидкість під час руху в цей інтервал часу і взявши суму (суму Рімана) цих наближених відстаней в кожному з цих інтервалів можна знайти загальний пройдений шлях. Ідеєю цього методу є припущення, що для короткого інтервалу швидкість залишатиметься більш менш однаковою. Однак, Ріманова сума дає лише наближене значення пройденої відстані. Аби знайти точну відстань, необхідно знайти границю всіх таких сум Рімана.

Якщо швидкість не змінюється, загальну пройдену відстань за вказаний час можна розрахувати множенням швидкості на час. Наприклад, при подорожуванні з постійною швидкістю в 50 км/год за 3 години буде пройдено загальний шлях в 150 кілометрів. На зображенні ліворуч, де зображено на графіку сталу швидкість і шкала часу, ці дві величини утворять прямокутник із висотою, що дорівнює швидкості і шириною, що дорівнює часу, що минув. Таким чином, добутком швидкості і часу також є площа прямокутника під (сталою) кривою швидкості. Цей зв'язок між площею під кривою і пройденою відстанню можна розширити до будь-якої області із неправильною формою, що представлятиме зміни швидкості за даний часовий період. Якщо Шаблон:Math на малюнку праворуч задає швидкість, яка змінюється з часом, пройдена відстань (між відмітками часу, що задані за допомогою Шаблон:Math і Шаблон:Math) буде площею зафарбованої області Шаблон:Math.

Для того, щоб апроксимувати цю площу, інтуїтивним методом є поділити відстань між Шаблон:Math і Шаблон:Math на деяку кількість однакових відрізків (сегментів), довжина кожного відрізку задається символом Шаблон:Math. Для кожного невеликого сегменту, ми можемо вибрати одне значення функції Шаблон:Math. Позначимо це значення Шаблон:Math. Тоді площа прямокутника із основою Шаблон:Math і висотою Шаблон:Math дасть в результаті пройдену відстань (час Шаблон:Math помножений на швидкість Шаблон:Math) у цьому сегменті. Із кожним сегментом пов'язане середнє значення функції над ним , Шаблон:Math. Сума площ всіх таких прямокутників дає наближення площі між віссю і кривою, що є наближенням загальної пройденої відстані. Менше значення для Шаблон:Math дозволить мати більше прямокутників і в більшості випадків кращу апроксимацію, але аби знайти точне значення необхідно знайти границю при тому як Шаблон:Math прямує до нуля.

Символом позначення інтегрування є $\int$ — видовжена латинська S (де S означає "sum" - сума). Визначений інтеграл записується наступним чином:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx.$

і читається як "інтеграл від a до b функції f-x по змінній x." Нотація Лейбніца Шаблон:Math означає задум розділення площі під кривою на нескінченну кількість прямокутників, так що їх ширина Шаблон:Math стає нескінченно малою Шаблон:Math. При формулюванні для числення основаного на понятті границі, цю нотація

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\cdots dx$

розуміють як оператор, який приймає на вхід функцію і повертає число, площу, як результат. Кінцевий диференціал, Шаблон:Math, не є числом, і не є помноженою на Шаблон:Math, і нагадує про визначення границі Шаблон:Math, записана у кінці, її треба розуміти як символічне позначення інтегралу. Формально, диференціал вказує змінну по якій інтегрують функцію і слугує як закриваюча дужка для оператору інтегрування.

Невизначений інтеграл, або первісна, записується наступним чином:

$\int f(x)dx.$

Функції, що відрізняються лише константою мають однакову похідну, і можливо показати, первісною для даної функції буде насправді ціле сімейство функцій, що відрізняються лише на константу. Оскільки похідною функції Шаблон:Math, де Шаблон:Math є довільною сталою, є Шаблон:Math, то первісна останньої функції буде визначатися як:

$\int 2xdx=x^2+C.$

Ця невизначена стала Шаблон:Math, що присутня у невизначеному інтегралі або похідній називається сталою інтегрування.

Фундаментальна теорема

Шаблон:Main Фундаментальна теорема числення, що відома як Формула Ньютона — Лейбніца, стверджує, що диференціювання і інтегрування є оберненими операціями. Точніше, вона пов'язує значення первісної до визначеного інтеграла. Оскільки зазвичай легше розрахувати первісну ніж застосувати визначений інтеграл, відповідно до його визначення, фундаментальна теорема числення надає практичний спосіб розрахунку визначених інтегралів. Це також можна інтерпретувати як точне твердження про те, що диференціювання є оберненою процедурою інтегрування.

Фундаментальна теорема числення стверджує: Якщо функція Шаблон:Math є неперервною в інтервалі Шаблон:Math і якщо Шаблон:Math є функцією, похідною якої є Шаблон:Math на інтервалі Шаблон:Math, тоді

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a).$

Крім того, для кожного Шаблон:Math в інтервалі Шаблон:Math,

$\frac{d}{dx}\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt=f(x).$

Це поняття одночасно розробили Ньютон і Лейбніц, їх результати базувалися на попередній роботі Ісаака Барроу. Фундаментальна теорема надає алгебраїчний метод для розрахунку багатьох визначених інтегралів (без процесу знаходження границь) шляхом знаходження формул для первісних. Вона також є базовою для вирішення диференційних рівнянь. Диференційні рівняння пов'язують невідому функцію і її похідні, і широко використовуються в науці.

Застосування

Логарифмічна спіраль Шаблон:Нп є класичним прикладом, який приводять аби показати як процес росту і змін пов'язаний з численням.

Числення застосовують у кожній області фізичних наук, актуарній математиці, комп'ютерних науках, статистиці, техніці, економіці, бізнесі, медицині, демографії, і інших областях, в яких задачу можна математично змоделювати і необхідно знайти оптимальне рішення. Це дозволяє перейти від (не постійних) швидкостей зміни до загальної зміни чогось і навпаки, і в багатьох прикладах вирішення задач ми знаємо щось одне і намагаємося знайти друге.

Фізика є особливим прикладом використання числення; всі поняття з класичної механіки і електромагнетизма співвідносяться за допомогою числення. Маса об'єкта відомої густини, момент інерції об'єктів, так само як загальна енергія тіла у потенційному полі можна знайти за допомогою числення. Прикладом використання числення в механіці є другий закон Ньютона: в історичному твердженні він напряму використовує термін «зміна руху» із чого випливає вислів Зміна моменту тіла дорівнює результуючій силі, що діє на тіло і має той самий напрям. Що зазвичай представляється сьогодні як Сила = Маса × прискорення, це приводить до диференційного числення, оскільки прискорення є похідною по часу для швидкості або і другою похідною від часу для траєкторії чи просторової позиції. Якщо починати із того, що відомо як прискорюється об'єкт, ми застосовуємо числення аби отримати його шлях.

Теорія електромагнетизму Максвела і загальна теорія відносності Ейнштейна також описуються за допомогою мови диференційного числення. В хімії використовують числення для визначення швидкостей реакції та радіоактивного розпаду. В біології, при побудові моделі динаміки популяції вивчають темпи відтворення і смерті.

Числення можна використовувати разом із іншими математичними дисциплінами. Наприклад, його можна застосовувати разом із лінійною алгеброю для знаходження «найкраще відповідне» лінійне наближення для відомої множини точок у деякій області значень. Або у теорії ймовірностей для знаходження ймовірності неперервної випадкової змінної із заданої функції щільності. В аналітичній геометрії, при вивченні графіків функцій, числення використовують для знаходження точок мінімуму і максимуму, нахилу, увігнутості і точок перегину.

Теорема Гріна, яка задає задає співвідношення між криволінійним інтегралом по простій замкненій кривій C і подвійним інтегралом по області на площині D, що обмежена кривою C, закладена у принцип дії інструменту відомого як планіметр, який використовують для вимірювання площі пласкої фігури на кресленні. Наприклад, його можна використати для розрахунку площі, яку займає квіткова клумба неправильної форми, або басейн при проектуванні.

Див. також

• Математичний аналіз
• Таблиця інтегралів

Література

Книжки

• Диференціальне та інтегральне числення : навч. посіб. / С. Банах ; пер. з пол. та ред. П.І. Каленюка, О.М. Рибицької. – Львів : Львівська політехніка, 2017. – 428 с. – ISBN 966-941-110-5. (Коротко про видання Шаблон:Webarchive)
• Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної : навч.-метод. посіб. / [О. Я. Мильо та ін.] ; Львів. нац. ун-т ім. Івана Франка. - Львів : ЛНУ ім. І. Франка, 2011. - 267 с. : рис. - ISBN 978-966-613-860-9
• Boyer, Carl Benjamin (1949). The History of the Calculus and its Conceptual Development Шаблон:Webarchive. Hafner. Dover edition 1959, Шаблон:Isbn
• Courant, Richard Шаблон:Isbn Introduction to calculus and analysis 1.
• Edmund Landau. Шаблон:Isbn Differential and Integral Calculus, American Mathematical Society.
• Robert A. Adams. (1999). Шаблон:Isbn Calculus: A complete course.
• Albers, Donald J.; Richard D. Anderson and Don O. Loftsgaarden, ed. (1986) Undergraduate Programs in the Mathematics and Computer Sciences: The 1985—1986 Survey, Mathematical Association of America No. 7.
• John Lane Bell: A Primer of Infinitesimal Analysis, Cambridge University Press, 1998. Шаблон:Isbn. Uses synthetic differential geometry and nilpotent infinitesimals.
• Florian Cajori, «The History of Notations of the Calculus.» Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 25, No. 1 (Sep. 1923), pp. 1–46.
• Leonid P. Lebedev and Michael J. Cloud: «Approximating Perfection: a Mathematician's Journey into the World of Mechanics, Ch. 1: The Tools of Calculus», Princeton Univ. Press, 2004.
• Cliff Pickover. (2003). Шаблон:Isbn Calculus and Pizza: A Math Cookbook for the Hungry Mind.
• Michael Spivak. (September 1994). Шаблон:Isbn Calculus. Publish or Perish publishing.
• Tom M. Apostol. (1967). Шаблон:Isbn Calculus, Volume 1, One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra. Wiley.
• Tom M. Apostol. (1969). Шаблон:Isbn Calculus, Volume 2, Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications. Wiley.
• Silvanus P. Thompson and Martin Gardner. (1998). Шаблон:Isbn Calculus Made Easy.
• Mathematical Association of America. (1988). Calculus for a New Century; A Pump, Not a Filter, The Association, Stony Brook, NY. ED 300 252.
• Thomas/Finney. (1996). Шаблон:Isbn Calculus and Analytic geometry 9th, Addison Wesley.
• Weisstein, Eric W. «Second Fundamental Theorem of Calculus.» Шаблон:Webarchive From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis: «Calculus», John Willey and Sons Pte. Ltd., 2002. Шаблон:ISBN
• Шаблон:Iw, Bruce H. Edwards (2010). Calculus, 9th ed., Brooks Cole Cengage Learning. Шаблон:Isbn
• McQuarrie, Donald A. (2003). Mathematical Methods for Scientists and Engineers, University Science Books. Шаблон:Isbn
• Шаблон:Cite book
• Stewart, James (2012). Calculus: Early Transcendentals, 7th ed., Brooks Cole Cengage Learning. Шаблон:Isbn
• Thomas, George B., Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano (2008), Calculus, 11th ed., Addison-Wesley. Шаблон:Isbn

Інтернет книжки

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Cite book
• Crowell, B. (2003). "Calculus". Light and Matter, Fullerton. Retrieved 6 May 2007 from http://www.lightandmatter.com/calc/calc.pdf Шаблон:Webarchive
• Garrett, P. (2006). "Notes on first year calculus". University of Minnesota. Retrieved 6 May 2007 from http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/first_year/notes.pdf Шаблон:Webarchive
• Faraz, H. (2006). "Understanding Calculus". Retrieved 6 May 2007 from UnderstandingCalculus.com, URL http://www.understandingcalculus.com Шаблон:Webarchive (HTML only)
• Keisler, H. J. (2000). "Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals". Retrieved 29 August 2010 from http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html Шаблон:Webarchive
• Mauch, S. (2004). "Sean's Applied Math Book" (pdf). California Institute of Technology. Retrieved 6 May 2007 from https://web.archive.org/web/20070614183657/http://www.cacr.caltech.edu/~sean/applied_math.pdf
• Sloughter, Dan (2000). "Difference Equations to Differential Equations: An introduction to calculus". Retrieved 17 March 2009 from http://synechism.org/drupal/de2de/ Шаблон:Webarchive
• Stroyan, K.D. (2004). "A brief introduction to infinitesimal calculus". University of Iowa. Retrieved 6 May 2007 from https://web.archive.org/web/20050911104158/http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm (HTML only)
• Strang, G. (1991). "Calculus" Massachusetts Institute of Technology. Retrieved 6 May 2007 from http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm Шаблон:Webarchive
• Smith, William V. (2001). "The Calculus". Retrieved 4 July 2008 [1] Шаблон:Webarchive (HTML only).

Посилання

• Шаблон:Клепко ВМ
• http://books.google.com/books?id=ha1ad_abDKwC&printsec=frontcover Шаблон:Webarchive