Графік функції

Графік кубічного полінома

Графік функції — діаграма в математиці, яка дає уявлення про геометричний образ функції.

Графіком функції $f:X\to Y$ називається підмножина декартового добутку $X$ на $Y$ ($G\subset X\times Y$), що містить всі пари $(x,y)$, для яких $f(x)=y$.

Якщо простіше, то це є малюнок, на якому можна побачити як змінюється значення Y залежно від значення Х. Як правило, значення X позначають на горизонтальній прямій, яку називають віссю абсцис (x), а значення Y на перпендикулярній до неї прямій, яку називають віссю ординат (y). Ці осі разом утворюють систему координат. Кожна вісь має напрямок, у якому значення відповідної координати зростає. У точці найбільшого значення малюють стрілку, яка вказує цей напрям. На кожній осі роблять позначки окремих (ключових) значень і підписують їх цими значеннями. Це допомагає приблизно визначити інші проміжні значення. Точка з координатами $(0,0)$ називається початком координат.

Графіки елементарних функцій

1. Пряма пропорційність $y=kx$
2. Лінійна функція $y=kx+b$
3. Обернена пропорційність $y=\frac{k}{x}$
4. Квадратична функція $y=x^2$, $y=a{x}^2+bx+c$

Побудова графіка функції

Побудова графіка функції, що базується на аналітичному дослідженні функції.

Алгоритм дослідження функції:

1. з'ясування області визначення функції;
2. вирішується питання про парності або непарності функції;
3. досліджується періодичність функції;
4. знаходять точки перетину кривої з осями координат;
5. знаходять точки розриву функції і визначають їх характер (такими точками є краї інтервалів визначення функції);
6. проводять дослідження на екстремум, знаходять екстремальні значення функції;
7. шукаються точки перегину та інтервали опуклості та угнутості кривій;
8. відшукання асимптоти кривої;
9. отримані результати наносять на креслення і отримують графік досліджуваної функції.

Графік функції будують за характерними точками й лініями, отриманими у результаті дослідження. Якщо їх недостатньо, знаходять допоміжні точки для деяких конкретних значень аргументу.

Приклад побудови графіка функції

Провести дослідження функції  $y=\frac{x^3}{3-x^2}$ та побудувати її графік.

1) Функція визначена всюди, крім точок $x=\sqrt{3}$ та $x=-\sqrt{3}$.

2) Функція непарна, тому що виконується умова $f(-x)=f(x)$, а саме, $y(-x)=\frac{(-x{)}^3}{3-(-x{)}^2}=-\frac{x^3}{3-x^2}$ , і, отже, її графік симетричний відносно початку координат. Тому обмежимося дослідженням тільки для $0⩽x⩽+\mathrm{\infty }$.

3) Функція не періодична.

4) Так як y = 0 лише при x = 0, то перетин з осями координат відбувається тільки на початку координат.

5) Функція має розрив другого роду в точці $x=\sqrt{3}$ , причому $\underset{x\to \sqrt{3}-0}{\lim }=\frac{x^3}{3-x^2}=+\mathrm{\infty }$ , $\underset{x\to \sqrt{3}+0}{\lim }=\frac{x^3}{3-x^2}=-\mathrm{\infty }$. Пряма $x=\sqrt{3}$ — вертикальна асимптота.

6) Знаходимо $y^{\prime }=\frac{9x^2-x^4}{(3-x^2{)}^2}$ і прирівнюємо її до нуля:$\frac{3x^2(3-x)(3+x)}{(3-x^2{)}^2}$ , звідки $x_1=-3$, $x_2=0$_, $x_3=3$. На екстремум треба досліджувати тільки точку $x_3=3$ (точку $x_2=0$ не досліджуємо, тому що вона є граничною точкою проміжку $[0;+\mathrm{\infty })$.

В околі точки $x_3=3$ має: $y^{\prime }>0$ при $x<3$ та $y^{\prime }<0$ при $x<3$ , отже, в точці $x_3$ функція має максимум, $y_{max}(3)=-\frac{9}{2}$.

Для перевірки правильності знаходження мінімального та максимального значення.

7) Знаходимо $y^{″}=\frac{6x(9+x^2)}{(3-x^2{)}^3}$. Бачимо, що $y^{″}=0$ лише при $x=0$, при цьому $y^{″}<0$ при $x<0$ та $y^{″}>0$ при $x>0$, отже, в точці (0,0) крива має перегин. Іноді напрямок угнутості може змінитися при переході через розрив кривої, тому слід з'ясувати знак $y^{″}$ і близько точок розриву функції. У даному випадку $y^{″}>0$ на проміжку $(0;\sqrt{3})$ i $y^{″}<0$ на $(\sqrt{3};+\mathrm{\infty })$, отже, на $(0;\sqrt{3})$ крива ввігнута і опукла на $(\sqrt{3};+\mathrm{\infty })$.

8) Знаходимо асимптоти.

Наявність вертикальної асимптоти $x=\sqrt{3}$ встановлено вище. Шукаємо горизонтальні: $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }=\frac{x^3}{3-x^2}=\mathrm{\infty }$, отже, горизонтальних асимптот немає.

Знайдемо похилі асимптоти:

$k=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }=\frac{x^3}{x(3-x^2)}=-1$, $b=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{x^3}{3-x^2}+x)=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3x}{3-x^2}=0$, виходячи з цього, $y=-x$ — нахилена двобічна асимптота.

9) Тепер, використовуючи отримані дані, будуємо креслення.

Див. також

• Наукова візуалізація
• Парна функція
• Непарна функція
• Перетворення графіків функцій

Посилання

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Клепко ВМ
• Шаблон:Клепко ВМ
• Шаблон:MathWorld
• Динамічні математичні моделіШаблон:Недоступне посилання