Асимптота

Для гіперболи $y=\frac{1}{x}$ асимптотами є осі абсцис і ординат. Крива може наближатись до своєї асимптоти, залишаючись по один бік від неї

Похила асимптота $UV$ плоскої кривої «декартів лист» ($x^3+y^3=3axy$) описується рівнянням $x+y+a=0$

Асимпто́та криво́ї (Шаблон:Lang-el — що не збігається, не дотикається) — це пряма, до якої крива при віддаленні в нескінченність наближається як завгодно близько.

Якщо крива, задана рівнянням y = f(x), віддаляється в нескінченність при наближенні x до скінченної точки a, то пряма x = a називається вертикальною асимптотою цієї кривої.

Види асимптот:

• Вертикальна
• Горизонтальна
• Похила

Такими асимптотами є пряма x = 0 для гіперболи y = 1/x кожна з прямих x = kπ (k = 0, ± 1, ± 2, …) для функції у = ctg(x).

Крім вертикальної асимптоти x = 0 гіпербола y = 1/x має ще й горизонтальну асимптоту у = 0, як і графік функції у = е^−x sin(х), проте він, на відміну від гіперболи, перетинає свою горизонтальну асимптоту нескінченну кількість раз.

Криві, що описуються рівняннями х³ + у³ = Заху (декартів лист), та у = 1/х + х мають похилу асимптоту.

Коефіцієнти k і b в рівнянні прямої у = kx + b — похилої асимптоти кривої у = f(x) при віддаленні до плюс чи мінус нескінченності, знаходять як границі: $k=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\frac{f(x)}{x}\right);b=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(f(x)-kx).$

Горизонтальна асимптота є частковим випадком похилої при k = 0. Дослідження асимптот дозволяє чіткіше уявити поведінку графіка функції, оскільки властивості функції поблизу її асимптоти дуже близькі до властивостей асимптоти — лінійної функції, властивості якої добре вивчені. Систематичне використання цієї властивості породило напрямок у сучасній математиці — «асимптотичні методи дослідження».

Не всі криві мають асимптоти. Наприклад, парабола асимптот не має.

Див. також

• Асимптотична рівність

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Клепко ВМ
• Графіки функцій: Довідник / Н. О. Вірченко, І. І. Ляшко, К. І. Шведов. — К. : Наукова думка, 1977. — 320 с.
• Асимптота Шаблон:Webarchive //Шаблон:УРЕ