Декартів лист

Декартів лист

Дека́ртів листок — плоска крива третього порядку, що в прямокутній системі описується рівнянням:

$x^3+y^3=3axy$.

Параметр $3a$ визначається як діагональ квадрата, сторона якого дорівнює найбільшій хорді петлі.

Історична довідка

Вперше в історії математики крива, що пізніше отримала назву «декартів листок», визначена у листі Декарта до Ферма у 1638 році як крива, для якої сума об'ємів кубів, побудованих на абсцисі і ординаті кожної точки, дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на абсцисі, ординаті і деякій сталій. Форма кривої встановлюється вперше Жилем Робервалем, котрий знайшов вузлову точку кривої, однак у його подачі крива складається лише з петлі. Побудувавши цю криву у чотирьох квадрантах, він отримав фігуру, що нагадує квітку з чотирма пелюстками. Однак, назва кривої «пелюстка жасмину» (Шаблон:Lang-fr) не закріпилась. Повну форму кривої з наявністю асимптоти було визначено пізніше (1692) Гюйгенсом і Йоганном Бернуллі. Назва «декартів листок» стала вживатись лише з початку 18 століття на пропозицію д'Аламбера.

Рівняння

• В прямокутній системі за визначенням:

$x^3+y^3=3axy$

• В полярній системі:

$\rho =\frac{3a\cos \phi \sin \phi }{{\cos }^3\phi +{\sin }^3\phi }$.

• Параметричне рівняння в прямокутній системі за умови $y=tx$ запишеться у вигляді:

$\{\begin{array}{c}x=\frac{3at}{1+t^3}\\ y=\frac{3a{t}^2}{1+t^3}\end{array}$, де $t=\mathrm{tg}\phi$.

Часто розглядають повернуту на 135° криву. Її рівняння мають такий вигляд:

• В прямокутній системі:

$y=\pm x\sqrt{\frac{l+x}{l-3x}}$, де $l=\frac{3a}{\sqrt{2}}$

• У параметричній формі:

$x=l\frac{t^2-1}{3t^2+1},y=l\frac{t(t^2-1)}{3t^2+1}$

• В полярних координатах:

$\rho =\frac{l({\sin }^2\phi -{\cos }^2\phi )}{\cos \phi ({\cos }^2\phi +3{\sin }^2\phi )}$

Властивості

• Пряма $OA$ — вісь симетрії, її рівняння: $y=x$.
• Точка A називається вершиною, її координати $(\frac{3a}{2},\frac{3a}{2})$.
• Для обох гілок існує асимптота $UV$, її рівняння: $x+y+a=0$.
• Площа області між дугами $ACO$ і $ABO$ $S_1=\frac{l^2}{3}=\frac{3}{2}{a}^2$.
• Площа області між асимптотою і кривою дорівнює площі петлі $S_2=S_1=\frac{3}{2}{a}^2$.
• Об'єм тіла, утвореного при обертанні дуги $ACO$ навколо осі абсцис $V_1=\frac{\pi l^3}{27}(\ln 4-1)$.

Використання

Відому популярність для вибору траєкторій руху обробного інструменту при високошвидкісному фрезеруванні (HSM) набули траєкторії типу «петля». Застосування такої стратегії при обході особливих точок в контурному фрезеруванні вимагає її трансформації у криві, які можуть виконувати спряження. І тут часто використовується траєкторія у формі декартового листка.

Див. також

• Овал Декарта
• Трисектриса Маклорена

Джерела

• Махомета Т. М. Історія розвитку вчення про лінії та поверхні в курсі аналітичної геометрії // Didactics of mathematics: Problems and Investigations. – Issue # 35. – 2011. C. 78-82
• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. Справочное руководство. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Шаблон:Ref-ru

Посилання

• Richard L. Amoroso Fe, Fi, Fo, Folium: A Discourse on Descartes’ Mathematical Curiosity Шаблон:Ref-en
• Weisstein, Eric W. Folium of Descartes Шаблон:Webarchive на MathWorld Шаблон:Ref-en