Трисектриса Маклорена

Трисектриса Маклорена. Показано трисекцію кута

Трисектри́са Маклоре́на — кубика, яку можна використати для трисекції кута. Її можна визначити як геометричне місце точок перетину двох прямих, кожна з яких обертається рівномірно навколо двох різних точок (полюсів) з відношенням кутових швидкостей 1:3, при цьому спочатку прямі збігаються з прямою, що проходить через ці полюси. Узагальнення цієї побудови називають Шаблон:Не перекладено. Січну названо на честь Коліна Маклорена, який досліджував криву 1742 року.

Рівняння

Нехай дві прямі обертаються навколо точок $P=(0,0)$ і $P_1=(a,0)$, так що пряма, що обертається навколо $P$, утворює з віссю $x$ кут $\theta$, а та, що обертається навколо $P_1$, утворює кут $3\theta$. Нехай $Q$ — точка їх перетину, тоді кут між прямими в точці $Q$ дорівнює $2\theta$. За теоремою синусів

$\frac{r}{\sin 3\theta }=\frac{a}{\sin 2\theta }$, так що в полярній системі координат це дасть

$r=a\frac{\sin 3\theta }{\sin 2\theta }=\frac{a}{2}\frac{4{\cos }^2\theta -1}{\cos \theta }=\frac{a}{2}(4\cos \theta -\sec \theta )$.

Таким чином, крива належить до сімейства конхоїд Слюза.

У прямокутній системі координат вигляд рівняння такий:

$2x(x^2+y^2)=a(3x^2-y^2)$.

Якщо початок координат зсунути в $(a,0)$, то виведення, подібне до наведеного, показує, що рівняння в полярних координат перетворюється на

$r=\frac{a}{2\cos \frac{\theta }{3}}$

і крива стає прикладом Шаблон:Не перекладено.

Властивість трисекції

Для заданого кута $\varphi$ малюємо промінь з $(a,0)$ так, щоб кут з віссю $x$ становив $\varphi$. Малюємо промінь з початку координат у точку перетину першого променя з кривою. За побудовою кривої, кут між другим променем і віссю $x$ дорівнює $\varphi /3$.

Чудові точки і властивості

Крива має перетин з віссю x у точці $\frac{3a}{2}$ і подвійну нерухому точку в початку координат. Вертикальна пряма $x=-\frac{a}{2}$ є асимптотою. Крива перетинає пряму $x=a$ в точках $(a,\pm \frac{1}{\sqrt{3}}a)$, що відповідають трисекції прямого кута. Як основна кубика, вона має рід нуль.

Зв'язок з іншими кривими

Трисектрису Маклорена можна визначити як конічний перетин трьома способами. А саме:

• Вона є інверсією гіперболи відносно одиничного кола

$2x=a(3x^2-y^2)$.

• Вона є цисоїдою кола

$(x+a{)}^2+y^2=a^2$

і прямої $x=\frac{a}{2}$ відносно початку координат.

• Вона є подерою параболи відносно початку координат

$y^2=2a(x-\frac{3}{2}a)$.

До того ж,

• Інверсія відносно точки $(a,0)$ є Шаблон:Не перекладено.
• Трисектриса Маклорена пов'язана з декартовим листом афінним перетворенням.

Література

• Шаблон:Стаття
• Шаблон:MathWorld

Посилання

• Трисектриса Маклорена у списку знаменитих кривих MacTutor
• Трисектриса Маклорена на 2dcurves.com
• Трисектриса Маклорена в Наочному словнику плоских кривих
• Трисектриса Маклорена на сайті Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables
• Loy, Jim «Trisection of an Angle», Part VI