Паралелепіпед

Матеріал з testwiki
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Паралелепі́пед (від Шаблон:Lang-el — паралельний і Шаблон:Lang-el2 — площина) — призма, основою для якої є паралелограм.Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Властивості

Типи паралелепіпедів

Прямокутний паралелепіпед і його виміри a, b, c

Розрізняють декілька типів паралелепіпедів:

  • Прямий паралелепіпед — паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні до площини основи.Шаблон:Sfn У прямих паралелепіпедів чотири грані є прямокутниками, а основи — паралелограмами.Шаблон:Sfn Паралелепіпеди, які не є прямими, називаються похилими.
  • Прямокутний паралелепіпед — прямий паралелепіпед, основою в якому є прямокутник.Шаблон:Sfn У прямокутного паралелепіпеда всі грані — прямокутники.Шаблон:Sfn Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, що мають спільну вершину, називають його вимірами.Шаблон:Sfn Всі чотири діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні.Шаблон:Sfn Моделями прямокутного паралелепіпеда може бути кімната, цеглина, сірникова коробка.
  • Куб — прямокутний паралелепіпед з рівними сторонами.Шаблон:Sfn Всі шість граней куба — рівні квадрати.

Основні формули

Прямий паралелепіпед

  1. Площа бічної поверхні:
    Шаблон:Math, де Шаблон:Math — периметр основи, Шаблон:Math — висота.
  2. Площа повної поверхні:
    Шаблон:Math, де Шаблон:Math — площа основи.
  3. Об'єм паралелепіпеда дорівнює добутку площі його основи на висоту:
    Шаблон:Math.

Прямокутний паралелепіпед

  1. Площа бічної поверхні:
    Шаблон:Math, де Шаблон:Math, Шаблон:Math — сторони основи, Шаблон:Math — бічне ребро прямокутного паралелепіпеда.
  2. Площа повної поверхні:
    Шаблон:Math.
  3. Об'єм:
    Шаблон:Math, де Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar — виміри прямокутного паралелепіпеда.
  4. У прямокутному паралелепіпеді квадрат діагоналі Шаблон:Mvar дорівнює сумі квадратів його вимірів:Шаблон:Sfn
    Шаблон:Math.

Куб

  1. Площа повної поверхні:
    Шаблон:Math, де Шаблон:Mvar — сторона.
  2. Об'єм:
    Шаблон:Math.
  3. Діагональ:
    Шаблон:Math.

Формули векторної алгебри

Паралелепіпед, який задається трьома векторами Шаблон:Math, Шаблон:Math і Шаблон:Math.Шаблон:BrДовжини векторних добутків Шаблон:Math і Шаблон:Math дорівнюють площам відповідних паралелограмів

Об'єм паралелепіпеда, побудованого на векторах 𝐚=(a1,a2,a3), 𝐛=(b1,b2,b3) і 𝐜=(c1,c2,c3) розраховується як модуль мішаного добутку цих векторів:

V=|𝐚⋅(𝐛×𝐜)|=|𝐛⋅(𝐜×𝐚)|=|𝐜⋅(𝐚×𝐛)|,

або

V=|det⁡[a1a2a3b1b2b3c1c2c3]|.

Паралелотоп

Гарольд Коксетер назвав узагальнення паралелепіпеда на вищі розмірності паралелотопом. В сучасній літературі термін "паралелепіпед" часто використовують і у вищих розмірностях .[1]

Конкретніше, паралелотоп в n-вимірному просторі називається n-вимірний паралелотоп, або просто Шаблон:Mvar-паралелотоп (або Шаблон:Mvar-паралелепіпед). Таким чином паралелограм це 2-паралелотоп, а паралепіпед - 3-паралелотоп.

Більш загально, паралелотоп,[2] або паралелотоп Вороного, має паралельні і конгруентні протилежні фасети. Тож 2-паралелотоп - це паралелогон що також може включати деякі гексагони, а 3-паралелотоп це Шаблон:Iw.

Діагоналі n-паралелотопа перетинаються в одній точці, і ця точка ділить їх надвоє. Інверсія в цій точці залишає n-паралелотоп незміненим.

Ребра що виходять з однієї вершини k-паралелотопа утворюють Шаблон:Iw (v1,…,vk) векторного простору, і паралелотоп можна відтворити з цих векторів їх лінійними комбінаціями з коефіцієнтами в межах від 0 до 1.

n-об'єм n-паралелотопа в просторі ℝm де m≥n можна обчислити за допомогою визначника Грама. Як альтернатива, об'єм - це норма зовнішнього добутку векторів: V=‖v1∧⋯∧vn‖.

Якщо Шаблон:Math, це дорівнює абсолютному значенню визначника Шаблон:Mvar векторів.

Див. також

Примітки

Шаблон:Примітки

Література

Шаблон:Багатогранники

  1. ↑ Morgan, C. L. (1974). Embedding metric spaces in Euclidean space. Journal of Geometry, 5(1), 101–107. https://doi.org/10.1007/bf01954540
  2. ↑ Шаблон:Cite arXiv
Отримано з https://uk.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Паралелепіпед&oldid=2520