Парна функція

Приклад парної функції: Шаблон:Math

Па́рна фу́нкція — функція $f:X\subset ℝ\to ℝ$, визначена на симетричній (відносно початку координат) множині $X$, яка не змінює значення при зміні знаку аргумента, тобто:

$f(-x)=f(x),\mathrm{\forall }x\in X.$

Графік парної функції дзеркально-симетричний відносно осі ординат.

Властивості

• Сума і різниця парних функцій буде парною функцією
• Добуток і частка парних функцій буде парною функцією
• Добуток і частка непарних функцій буде парною функцією
• Композиція парних функцій буде парною функцією

Приклади

• $y=|x|$
• $y=x^2$
• $y=7x^4-4x^2+5-\frac{3}{x^2}$ (тільки парні степені)
• $y=\cos x$

Алгоритм дослідження функції на парність

Дослідження функції на парність - це вивчення питання про те, чи є задана функція парною.

Алгоритм дослідження функції $y=f(x)$ на парність:

• Знайти для функції $y=f(x)$ область визначення функції ($D(y)$ ) та встановити чи симетрична $D(y)$ відносно нуля.
• Якщо область визначення функції ($D(y)$) симетрична відносно нуля, тоді:
  • скласти вираз $f(-x)$;
  • порівняти $f(-x)$ та $f(x)$, якщо рівність $f(-x)=f(x)$ справджується для будь-якого значення $x$ з області визначення функції ($D(y)$), то функція $y=f(x)$ - парна.

Приклади дослідження парності функції

Приклад 1. Дослідити на парність функцію $f(x)=\frac{x^6}{x^2-5}$

Розв'язання:

Областю визначення функції $f(x)=\frac{x^6}{x^2-5}$ : $D(y)=(-\mathrm{\infty };-\sqrt{5})\cup (-\sqrt{5};\sqrt{5})\cup (\sqrt{5};+\mathrm{\infty })$ - симетрична відносно нуля. Замінити аргумент $x$ функції $f(x)=\frac{x^6}{x^2-5}$ на $-x$, отримаємо : $f(-x)=\frac{(-x{)}^6}{(-x{)}^2-5}$. Оскільки аргумент в чисельнику і знаменнику в парному степені, а степінь від'ємного числа з парним показником є додатним числом, тому $f(-x)=\frac{(-x{)}^6}{(-x{)}^2-5}=\frac{x^6}{x^2-5}$. Виконується тотожність $f(-x)=f(x),x\ne \sqrt{5};x\ne -\sqrt{5}$, тому функція $f(x)=\frac{x^6}{x^2-5}$ - парна.

Див. також

• Непарна функція
• Парність (математика)

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Завало.Елементи аналізу. Алгебра многочленів.
• Шаблон:Вирченко.Графики функций
• Шаблон:УСЕ-4