Тотожність

Тотожність (в математиці) — рівність двох виразів, яка виконується на всій множині значень змінних (рівність, що виконується для будь-яких значень змінної), наприклад,

$a+b=b+a$,

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$,

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$,

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$,

$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$,

$(a-b-c{)}^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc$,

${(a+b)}^4=a^4+4\cdot a^3\cdot b+6\cdot a^2\cdot b^2+4\cdot a\cdot b^3+b^4$,

$a:\frac{b}{d}=\frac{ad}{b}$,

$a\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{d}$

$(a+b{)}^4=a^4+4\cdot a^3\cdot b+6\cdot a^2\cdot b^2+4\cdot a\cdot b^3+b^4$

тощо.

Рівність $x+2=5$ має місце не для будь-якого значення $x$, а тільки при $x=3$. Така рівність не є тотожністю; вона називається рівнянням. Тотожністю називають також рівність, що не містить змінних; наприклад: $25^2=625$.

Тотожність часто позначається символом «≡»

Формули скороченого множення

• Квадрат суми (різниці): $(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2ab+b^2$ справедлива рівності для будь яких $a,b$.

• Різниця квадратів: $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ справедлива рівність для будь яких $a,b$.

• Куб суми (різниці): $(a\pm b{)}^3=a^3\pm 3a^{2}b+3a{b}^2\pm b^3$ справедлива рівність для будь яких $a,b$.

• Сума (різниця) кубів: $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$ справедлива рівність для будь яких $a,b$.

• Многочлени $(a+b\pm c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab\pm 2ac\pm 2bc$ справедлива рівність для будь яких $a,b,c$.

Пропорція

Пропорція $\frac{2a}{a-1}=\frac{10a}{5(a-1)}$ є тотожність при всіх значеннях $a$, крім $a=1$, оскільки при $a=1$ знаменники дробів перетворюються в нуль, тобто дроби не мають змісту. Заміна виразу $\frac{ac}{bc}$ виразом $\frac{a}{b}$ (скоротили на $c$) є тотожнім перетворенням виразу $\frac{ac}{bc}$ при обмеженнях: $b\ne 0,c\ne 0$.Отже, $\frac{ac}{bc}$=$\frac{a}{b}$ — тотожність при всіх значеннях змінних, крім $b=0,c=0$.

Тотожності (властивості степенів)

Для будь яких $x,y$ і додатних $a,b$ справедливі рівності:

$a^0=1$; $a^x{a}^y=a^{x+y}$; $a^x÷a^y=a^{x-y}$; $(a^x{)}^y=a^{xy}$; $(ab{)}^x=a^x{b}^x$; $(\frac{a}{b}{)}^x=\frac{a^x}{b^x}$; $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$.

Логарифмічні тотожності

Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів; логарифм частки дорівнює різниці логарифмів. Логарифм степеня $x^p$ дорівнює добутку показника степеня p на логарифм самого числа х; логарифм кореня p-го степеня з числа х — логарифм числа, поділений на p. У наступній таблиці перелічені ці тотожності з прикладами. Дані логарифмічні тотожності виконуються за умови, що $x>0,y>0,a>0,a\ne 1$, $p\in R$.

	Формула	Приклад
добуток	${\log }_b(xy)={\log }_b(x)+{\log }_b(y)$	${\log }_3(243)={\log }_3(9\cdot 27)={\log }_3(9)+{\log }_3(27)=2+3=5$
частка	${\log }_b\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_b(x)-{\log }_b(y)$	${\log }_2(16)={\log }_2\left(\frac{64}{4}\right)={\log }_2(64)-{\log }_2(4)=6-2=4$
степінь	${\log }_b(x^p)=p{\log }_b(x)$	${\log }_2(64)={\log }_2(2^6)=6{\log }_2(2)=6$
корінь	${\log }_b\sqrt[p]{x}=\frac{{\log }_b(x)}{p}$	${\log }_{10}\sqrt{1000}=\frac{1}{2}{\log }_{10}1000=\frac{3}{2}=1.5$

З означення логарифма випливає, що при $a>0,a\ne 1,b>0$ виконується рівність $a^{{\log }_{a}b}=b$. ЇЇ називають основною логарифмічною тотожністю.

Формула переходу до іншої основи логарифма

Прологарифмуємо за основою $c$, де $c>0,c\ne 1$, обидві частини основної логарифмічної тотожності $a^{{\log }_{a}b}=b$. Отримаємо: ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$ — формула переходу від логарифма з основою $a$ до логарифма з основою $c$.

Тотожності гіперболічної функції

Гіперболічні функції задовольняють безліч тотожностей, всі вони подібні за формою до тригонометричних тотожностей. Правило Осборна зазначає, що можна перетворити будь-яку тригонометричну тотожність у гіперболічну тотожність, розширивши її повністю. Функція Гудермана зв'язує тригонометричні функції і гіперболічні функції без залучення комплексних чисел.

1. ${\mathrm{ch}}^{2}x-{\mathrm{sh}}^{2}x=1$
2. Парність:
   1. $\mathrm{sh}(-x)=-\mathrm{sh}x$
   2. $\mathrm{ch}(-x)=\mathrm{ch}x$
   3. $\mathrm{th}(-x)=-\mathrm{th}x$
3. Формули додавання:
   1. $\mathrm{sh}(x\pm y)=\mathrm{sh}x\mathrm{ch}y\pm \mathrm{sh}y\mathrm{ch}x$
   2. $\mathrm{ch}(x\pm y)=\mathrm{ch}x\mathrm{ch}y\pm \mathrm{sh}y\mathrm{sh}x$
   3. $\mathrm{th}(x\pm y)=\frac{\mathrm{th}x\pm \mathrm{th}y}{1\pm \mathrm{th}x\mathrm{th}y}$.

Приклади тотожностей в математиці

• Тотожність Ейлера
• Тотожність паралелограма
• Тотожність чотирьох квадратів
• Тотожність восьми квадратів
• Тригонометричні тотожності

Див. також

• Відношення еквівалентності