Тотожність восьми квадратів

Тотожність восьми квадратів — алгебраїчна тотожність, що стверджує: добуток суми вісьми квадратів на іншу суму вісьми квадратів також буде сумою вісьми квадратів:

(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2} + a_{5}^{2} + a_{6}^{2} + a_{7}^{2} + a_{8}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2} + b_{4}^{2} + b_{5}^{2} + b_{6}^{2} + b_{7}^{2} + b_{8}^{2}) =

(a_{1} b_{1} - a_{2} b_{2} - a_{3} b_{3} - a_{4} b_{4} - a_{5} b_{5} - a_{6} b_{6} - a_{7} b_{7} - a_{8} b_{8})^{2} +

(a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1} + a_{3} b_{4} - a_{4} b_{3} + a_{5} b_{6} - a_{6} b_{5} - a_{7} b_{8} + a_{8} b_{7})^{2} +

(a_{1} b_{3} - a_{2} b_{4} + a_{3} b_{1} + a_{4} b_{2} + a_{5} b_{7} + a_{6} b_{8} - a_{7} b_{5} - a_{8} b_{6})^{2} +

(a_{1} b_{4} + a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} + a_{4} b_{1} + a_{5} b_{8} - a_{6} b_{7} + a_{7} b_{6} - a_{8} b_{5})^{2} +

(a_{1} b_{5} - a_{2} b_{6} - a_{3} b_{7} - a_{4} b_{8} + a_{5} b_{1} + a_{6} b_{2} + a_{7} b_{3} + a_{8} b_{4})^{2} +

(a_{1} b_{6} + a_{2} b_{5} - a_{3} b_{8} + a_{4} b_{7} - a_{5} b_{2} + a_{6} b_{1} - a_{7} b_{4} + a_{8} b_{3})^{2} +

(a_{1} b_{7} + a_{2} b_{8} + a_{3} b_{5} - a_{4} b_{6} - a_{5} b_{3} + a_{6} b_{4} + a_{7} b_{1} - a_{8} b_{2})^{2} +

(a_{1} b_{8} - a_{2} b_{7} + a_{3} b_{6} + a_{4} b_{5} - a_{5} b_{4} - a_{6} b_{3} + a_{7} b_{2} + a_{8} b_{1})^{2} .

Відкрита Ferdinand Degen {dansk} в 1818 році, була незалежно перевідкрита Джоном Грейвзом (1843) та Артуром Келі (1845). Останні двоє відкрили її під час праці над розширенням кватерніонів до октоніонів. В нормованій алгебрі з діленням, це означає,добуток модулів двох октоніонів дорівнює модулю їх добутку.

| a b | = | a | | b |

.

В 1898 році Адольф Гурвіц довів, що подібні тотожності можливі тільки для 1,2,4 та 8 квадратів. Див. Теорема Гурвіца про композитні алгебри.

Кожен квадрант тотожностівосьми квадратів є тотожністю чотирьох квадратів:

(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2} + b_{4}^{2}) =

(a_{1} b_{1} - a_{2} b_{2} - a_{3} b_{3} - a_{4} b_{4})^{2} +

(a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1} + a_{3} b_{4} - a_{4} b_{3})^{2} +

(a_{1} b_{3} - a_{2} b_{4} + a_{3} b_{1} + a_{4} b_{2})^{2} +

(a_{1} b_{4} + a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} + a_{4} b_{1})^{2}

та,

(a_{5}^{2} + a_{6}^{2} + a_{7}^{2} + a_{8}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2} + b_{4}^{2}) =

(a_{5} b_{1} + a_{6} b_{2} + a_{7} b_{3} + a_{8} b_{4})^{2} +

(a_{5} b_{2} - a_{6} b_{1} + a_{7} b_{4} - a_{8} b_{3})^{2} +

(a_{5} b_{3} - a_{6} b_{4} - a_{7} b_{1} + a_{8} b_{2})^{2} +

(a_{5} b_{4} + a_{6} b_{3} - a_{7} b_{2} - a_{8} b_{1})^{2}

і т.д.

Дивись також

Тотожність восьми квадратів

Дивись також

Навігаційне меню

Пошук