Тотожність чотирьох квадратів

Тотожність чотирьох квадратів — алгебраїчна тотожність, що стверджує: добуток суми чотирьох квадратів на іншу суму чотирьох квадратів також буде сумою чотирьох квадратів:

(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2} + b_{4}^{2}) =

(a_{1} b_{1} - a_{2} b_{2} - a_{3} b_{3} - a_{4} b_{4})^{2} +

(a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1} + a_{3} b_{4} - a_{4} b_{3})^{2} +

(a_{1} b_{3} - a_{2} b_{4} + a_{3} b_{1} + a_{4} b_{2})^{2} +

(a_{1} b_{4} + a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} + a_{4} b_{1})^{2} .

Леонард Ейлер написав її в своєму листі до Ґольдбаха від 4 травня 1748 року.

Дана тотожність може бути подана у вигляді: добуток модулів двох кватерніонів дорівнює модулю їх добутку.

| a b | = | a | | b |

.

Подібна тотожність справедлива для довільного комутативного кільця. Тож аналогічне твердження справедливе також для дійсних чисел (тривіальне твердження), комплексних чисел (відоме як тотожність Брамагупти) та октоніонів.

Див. також

Джерела

Тотожність чотирьох квадратів

Див. також

Джерела

Навігаційне меню

Пошук