Тотожність Брамагупти

Тотожність Брамагупти — алгебраїчна тотожність, що стверджує: добуток суми двох квадратів на іншу суму двох квадратів також буде сумою двох квадратів:

$\begin{array}{cc}(a^2+b^2)(c^2+d^2)& ={(ac-bd)}^2+{(ad+bc)}^2(1)\\ & ={(ac+bd)}^2+{(ad-bc)}^2.(2)\end{array}$

Була відкрита індійським математиком Брамагуптою в 7 столітті.

Зв’язок з комплексними числами

Використавши, що добуток модулів комплексних чисел дорівнює модулю добутку:

$|a+bi||c+di|=|(a+bi)(c+di)|$

піднісши обидві частини до квадрату

$|a+bi{|}^2|c+di{|}^2=|(ac-bd)+i(ad+bc){|}^2,$

та обчисливши, отримаємо:

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2.$

Див. також

• Тотожність чотирьох квадратів
• Рівняння Пелля
• Процедура Келі — Діксона

Посилання

• Brahmagupta's identity at PlanetMath
• Brahmagupta Identity on MathWorld