Процедура Келі — Діксона

Процедура Келі-Діксона (процедура подвоєння) — це рекурсивна процедура побудови алгебр над полем дійсних чисел, з подвоєнням розмірності на кожному кроці.

Дана процедура дозволяє визначити комплексні числа, кватерніони, октави, седеніони і т.д.

Також використовується в теоремі Гурвіца для знаходження всіх нормованих алгебр з одиницею.

Кватерніони

Довільний кватерніон $q=a+bi+cj+dk$ можна представити у вигляді $q=(a+bi)+(c+di)j$

або $q=z_1+z_{2}j,z_1=a+bi,z_2=c+di,$

де $z_1,z_2$ — комплексні числа.

Позначимо ще один кватерніон як

$r=w_1+w_{2}j.$

Перемноживши кватерніони, отримаємо:

$qr=(z_1+z_{2}j)(w_1+w_{2}j)=z_1{w}_1+z_1{w}_{2}j+z_{2}j{w}_1+z_{2}j{w}_{2}j$ — дужки розкрили, бо множення кватерніонів асоціативне.

Оскільки $zj=j\overline{z},zw=wz,$

то переставимо множники і отримаємо:

$qr=(z_1{w}_1-\overline{w_2}{z}_2)+(w_2{z}_1+z_2\overline{w_1})j.$

Отже кватерніони можна визначити як вирази, виду $z_1+z_{2}j$, що задовільняють формулу множення, що збігається з формулою множення комплексних чисел.

Загальний випадок

Якщо для деяких чисел $a$ та $b$ існують поняття: множення, ділення, спряженого числа і норми числа як $|a{|}^2=a\overline{a},$

то ці поняття можна ввести і для впорядковиних пар чисел $(a,b)$:

• $(a,b)(c,d)=(ac-\overline{d}b,da+b\overline{c})$ — закон множення пар,
• $\overline{(a,b)}=(\overline{a},-b)$ — спряжена пара.

Властивості

• Норма впорядкованої пари:

$|(a,b){|}^2=(a,b)\overline{(a,b)}=(a,b)(\overline{a},-b)=(a\overline{a}+b\overline{b},ba-ba)=(|a{|}^2+|b{|}^2,0)=|a{|}^2+|b{|}^2$ — рівна нулю тільки при a=b=0.

• Ділення $r/q$ визначається як $\frac{\overline{r}q}{|q{|}^2}$ чи $\frac{q\overline{r}}{|q{|}^2}$ — отже з попередньої властивості випливає відсутність дільників нуля.
• Якщо для чисел виконується $\overline{ab}=\overline{b}\cdot \overline{a},$ то це виконується і для впорядкованих пар:

$\overline{(a,b)(c,d)}=(\overline{c}\overline{a}-\overline{b}d,-da-b\overline{c})=(\overline{c},-d)(\overline{a},-b)=\overline{(c,d)}\cdot \overline{(a,b)}.$

• Якщо для впорядкованих пар виконується попередня умова та умова альтернативності, то вони утворюють нормовану алгебру, оскільки:

$|rq{|}^2=(rq)\overline{(rq)}=(rq)(\overline{q}\overline{r})=r(q\overline{q})\overline{r}=|r{|}^2\cdot |q{|}^2.$

Узагальнення Шафера

Всі попередні формули будували гіперкомплексні системи з квадратом уявної одиниці рівним (-1). Але при створенні пар можна брати числа що мають квадрат уявної одиниці рівним як (+1) так і (-1) і змінювати закон множення пар (дивись Алгебри Кліффорда).

Див. також

• Бікватерніони

Джерела

• Шаблон:Кантор.Солодовников