*-алгебра

*-алгебра (алгебра з інволюцією, алгебра з операцією спряження) — асоціативна алгебра з інволюцією, що має властивості подібні до комплексного спряження.

*-кільце

*-кільце — кільце з унарною операцією * яка є

• антиавтоморфізмом, тобто

$(x+y{)}^{\ast }=x^{\ast }+y^{\ast }$

$(xy{)}^{\ast }=y^{\ast }{x}^{\ast }$

$1^{\ast }=1$

• та інволюцією, тобто

$(x^{\ast }{)}^{\ast }=x.$

Таке кільце ще називається — кільце з інволюцією.

*-алгебра

*-алгебра A це *-кільце, що є асоціативною алгеброю над іншим *-кільцем R, з узгодженням операції * в $R\subset A.$

Базове *-кільце це, зазвичай, комплексні числа (де * — комплексне спряження).

Тоді * є спряжено-лінійним, тобто

$(\lambda x+\mu y{)}^{\ast }={\lambda }^{\ast }{x}^{\ast }+{\mu }^{\ast }{y}^{\ast }\lambda ,\mu \in R;x,y\in A$.

*-гомоморфізм $f:A\to B$ є Шаблон:Li що відображає інволюцію в A на інволюцію в B, тобто:

$f(x^{\ast })=f(x{)}^{\ast }\mathrm{\forall }x\in A.$

---

• Елементи для яких $x^{\ast }=x$ називаються само-спряженими, симетричними або ермітовими.
• Елементи для яких $x^{\ast }=-x$ називаються косо-спряженими, анти-симетричними або анти-ермітовими.
• Можна визначити сесквілінійну форму за допомогою операції * у виді $\varphi (x,y)=x^{\ast }\cdot y$.

C*-алгебра

C*-алгебра — Банахова *-алгебра, для якої виконується C*–властивість:

$\Vert x^{\ast }x\Vert =\Vert x\Vert \Vert x^{\ast }\Vert ,$

$\Vert x{x}^{\ast }\Vert =\Vert x\Vert \Vert x^{\ast }\Vert .$

Обидві умови є еквівалентними.

Також вони еквівалентні В*–властивості

$\Vert x{x}^{\ast }\Vert =\Vert x{\Vert }^2.$

Приклади

• Найвідомішим прикладом є комплексні числа $ℂ$ з операцією спряження.
• За допомогою процедури Кейлі-Діксона утворюються алгебри з операцією спряження: комплексні числа, кватерніони, октоніони.
• Квадратні матриці з комплексними елементами з операцією ермітового спряження.
• Ермітове спряження лінійного оператора в Гільбертовому просторі.

Властивості

Багато властивостей спряження для комплексних чисел зберігаються в *-алгебрах:

• Якщо для 2 в алгебрі існує обернений елемент, тоді $\frac{1}{2}(1-\ast )$ та $\frac{1}{2}(1+\ast )$ є ортогональними ідемпотентами. Якщо їх вибрати в базис, то алгебра як векторний простір розкладається в пряму суму підпросторів з симетричних та анти-симетричних (ермітових та анти-ермітових) елементів.
• Ермітові елементи *-алгебри утворюють алгебру Йордана.
• Анти-ермітові елементи *-алгебри утворюють алгебру Лі.

Див. також

• Нормована алгебра з діленням

Джерела

• Шаблон:Вінберг.Курс алгебри