Спіраль Архімеда

Три витки на 360° однієї гілки спіралі Архімеда

Спіраль АрхімедаШаблон:Sfn Шаблон:Rp Шаблон:Sfn Шаблон:Rp Шаблон:Sfn Шаблон:Rp (також архімедова спіраль Шаблон:Sfn Шаблон:Rp)  — плоска трансцендентна крива, яку описує точка M під час її рівномірного руху з лінійною швидкістю v уздовж прямої, що рівномірно обертається у площині навколо однієї зі своїх точок О зі сталою кутовою швидкістю ω.

Точку О називають полюсом спіралі Архімеда.

Спіраль названо ім'ям Архімеда, який вивчив її властивості.

Рівняння кривої

• Рівняння спіралі Архімеда у полярній системі координат.
  Якщо в початковий момент руху твірна точка М та полюс О збігаються, а полярна вісь збігається з початковим положенням рухомої прямої, то рівняння спіралі Архімеда у полярній системі координат має вигляд:

$$\rho =a\cdot \phi$$

де Шаблон:Math  — параметр, що відповідає зміщенню точки $M$ вздовж прямої, при її повороті на 1 рад;

Шаблон:Math  — крок спіралі Архімеда, тобто відрізок $M{M}_1$, що дорівнює зміщенню точки $M$ при повному оберті прямої;

$\phi =\omega \cdot t$ — полярний кут твірної точки $M$, тобто кут повороту прямої від свого початкового положення за час $t$..

Права та ліва частини спіралі Архімеда

Додатнім значенням кута $\phi (\phi \ge 0)$ відповідає права спіраль, тобто спіраль, закручена проти годинникової стрілки; а від'ємним значенням полярного кута $\phi (\phi \le 0)$ відповідає ліва спіраль (закручена за годинниковою стрілкою).Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

Рівняння:Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

$$\rho =a\cdot \phi +\ell$$

описує спіраль Архімеда з тими ж параметрами, що і у спіралі $\rho =a\cdot \phi$, тільки повернуту відносно полюса на кут $\alpha =-\frac{\ell }{a}$ рад за годинниковою стрілкою.

• Рівняння спіралі Архімеда в декартовій системі координат в неявному виді:Шаблон:SfnШаблон:Rp

$$\sqrt{x^2+y^2}=a\cdot \mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)$$

Рівняння повернутої спіралі Архімеда:

$$\sqrt{x^2+y^2}=a\cdot \mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)+\ell$$

• Рівняння спіралі Архімеда в декартовій системі координат в параметричному виді:

$\{\begin{array}{c}x(\phi )=a\cdot \phi \cdot \cos \phi \\ y(\phi )=a\cdot \phi \cdot \sin \phi \end{array}0\le \phi <+\mathrm{\infty }$

Метричні характеристики

Нехай спіраль Архімеда задано рівнянням $\rho =a\cdot \phi$.

Тоді:

Ілюстрація до розрахунку довжини дуги спіралі Архімеда

• Довжина дуги спіралі Архімеда між двома її довільними точками $M_1({\rho }_1,{\phi }_1)$ та $M_2({\rho }_2,{\phi }_2)$, що відповідають полярним кутам ${\phi }_1$ та ${\phi }_2$: Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

$$\begin{array}{cc}L& =\underset{{\phi }_1}{\overset{{\phi }_2}{\int }}dl=\underset{{\phi }_1}{\overset{{\phi }_2}{\int }}\sqrt{d{\rho }^2+d{h}^2}=\underset{{\phi }_1}{\overset{{\phi }_2}{\int }}\sqrt{(ad\phi {)}^2+(\rho d\phi {)}^2}=\\ & =\underset{{\phi }_1}{\overset{{\phi }_2}{\int }}\sqrt{a^2\cdot (d\phi {)}^2+a^2\cdot {\phi }^2\cdot (d\phi {)}^2}=a\cdot \underset{{\phi }_1}{\overset{{\phi }_2}{\int }}\sqrt{1+{\phi }^2}d\phi =\\ & =\frac{a}{2}\cdot {[\phi \cdot \sqrt{1+{\phi }^2}+\ln (\phi +\sqrt{1+{\phi }^2})]}_{{\phi }_1}^{{\phi }_2}=\frac{a}{2}\cdot {[\phi \cdot \sqrt{1+{\phi }^2}+\mathrm{arsinh}\phi ]}_{{\phi }_1}^{{\phi }_2}\end{array}$$

Зокрема, довжина дуги спіралі Архімеда від її полюса $O({\phi }_1=0)$ до довільної точки $M(\rho ,\phi )({\phi }_2=\phi )$ дорівнює:

$\ell =\frac{a}{2}\cdot [\phi \cdot \sqrt{1+{\phi }^2}+\ln (\phi +\sqrt{1+{\phi }^2})]=\frac{a}{2}\cdot [\phi \cdot \sqrt{1+{\phi }^2}+\mathrm{arsinh}\phi ]$

Також:Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

$\begin{array}{cc}\ell & =\frac{1}{2}\cdot [\frac{\rho \cdot \sqrt{{\rho }^2+a^2}}{a}+\ln \left(\frac{\rho +\sqrt{{\phi }^2+a^2}}{a}\right)]=\\ & =\frac{a}{2}\cdot [\mathrm{tg}\alpha \cdot \sec \alpha +\ln (\mathrm{tg}\alpha +\sec \alpha )]\end{array}$

де $\alpha$ — гострий кут між дотичною $MT$ в точці $M$ спіралі Архімеда та радіус-вектором $OM$ цієї точки.

• Площа сектора, що обмежений дугою Шаблон:Overarc спіралі Архімеда та двома радіус-векторами $O{M}_1={\rho }_1$ та $O{M}_2={\rho }_2$:

$S_{\text{сект.}}=\frac{1}{a}\cdot ({\rho }_2^3-{\rho }_1^3)$

Також:Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

$S_{\text{сект.}}=\frac{\omega }{6}\cdot ({\rho }_1^2+{\rho }_1\cdot {\rho }_2+{\rho }_2^2)$.

де $\omega =\mathrm{\angle }{M}_{1}O{M}_2$ — кут між радіус-векторами точок $M_1$ та $M_2$; центральний кут сектора.
До того ж цей кут не мустить перевищувати $2\pi$ радіан. Шаблон:Multiple image

• Площа витків спіралі Архімеда.Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

1. 1 Площа першого витка спіралі Архімеда — фігури, що обмежена дугою спіралі Архімеда від її полюса $O$ до точки $A$ (полярний кут якої $\phi =2\pi$) та відрізком $OA$ полярної осі:

$S_1=\frac{1}{3}\cdot \pi k^2=\frac{4}{3}\cdot {\pi }^3{a}^2=\frac{1}{3}\cdot S_{1\text{кр.}}$

де $S_{1\text{кр.}}$ — площа круга з радіусом $OA$;
$k=2\pi \cdot a=OA$ — крок спіралі Архімеда.

Формулу можна отримати з формули площі сектора; стосовно цієї фігури: ${\rho }_1=0;{\rho }_2=k=2\pi a;\omega =2\pi$.

1. 2 Площа другого витка спіралі Архімеда — фігури, що обмежена дугою спіралі Архімеда від точки $A$ (полярний кут якої $\phi =2\pi$) до точки $A_1$ (полярний кут якої $\phi =4\pi$) та відрізком $A{A}_1$ полярної осі:

$S_2=\frac{7}{3}\cdot \pi k^2=\frac{28}{3}\cdot {\pi }^3{a}^2=\frac{7}{12}\cdot S_{2\text{кр.}}$

де $S_{2\text{кр.}}$ — площа круга з радіусом $O{A}_1$.

1. 3 Площа n — го витка спіралі Архімеда — фігури, що обмежена дугою спіралі Архімеда від точки $A_{n-1}$ (полярний кут якої $\phi =2\pi$) до точки $A_n$ (полярний кут якої $\phi =4\pi$) та відрізком $A_{n-1}{A}_n$ полярної осі:

$S_n=\frac{n^3-(n-1{)}^3}{3}\cdot \pi k^2=\frac{n^3-(n-1{)}^3}{3n^2}\cdot S_{n\text{кр.}}$

де $S_{n\text{кр.}}$ — площа круга з радіусом $O{A}_n$. Шаблон:Multiple image

• Площа кілець спіралі Архімеда.Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

1. Перше кільце спіралі Архімеда — фігура, що утворена відрізком $OA$ полярної осі між першим та другим витками спіралі Архімеда, при обертанні полярної осі від її початкового положення на кут $2\pi$ радіан. Фігура обмежена: 1.Відрізком $OA$; 2. Першим витком; 3. відрізком $A{A}_1$; 4. Другим витком.
2. Друге кільце спіралі Архімеда — фігура, що утворена відрізком $A{A}_1$ полярної осі між другим та третім витками спіралі Архімеда, при обертанні полярної осі від її початкового положення на кут $2\pi$ радіан. Фігура обмежена: 1.Відрізком $A{A}_1$; 2. Другим витком; 3. відрізком $A_1{A}_2$; 4. Третім витком.

Площа $n$ —го кільця спіралі Архімеда:

$F_n=S_{n+1}-S_n=6n\cdot S_1$

де $S_n$ — площа $n$-го витка спіралі Архімеда;
$S_1=\frac{1}{3}\cdot \pi k^2$ — площа 1-го витка (нульового кільця) спіралі Архімеда.

• Радіус кривини в довільній точці спіралі Архімеда:Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

$R_c=a\cdot \frac{{({\phi }^2+1)}^{3/2}}{{\phi }^2+2}=\frac{{({\rho }^2+a^2)}^{3/2}}{{\rho }^2+2a^2}=\frac{{({\mathrm{tg}}^2\alpha +1)}^{3/2}}{{\sec }^2\alpha +2}$.

Трисекція кута та квадратура круга за допомогою спіралі Архімеда

Трисекція кута за допомогою спіралі Архімеда (n=3): $\beta =\frac{\alpha }{3}$

Згідно означення спіралі Архімеда, відстань від початку координат до точки кривої пропорційна куту повороту полярної осі. А, отже, спіраль Архімеда можливо використовувати для поділу довільного кута на $n$ рівних частин, а також і для квадратури круга. Тому спіраль Архімеда є одночасно трисектрисою (n=3) і квадратрисою. Обидві задачі (трисекцію кута та квадратуру круга) не можна розв'язати лише за допомогою циркуля і лінійки, але якщо дозволити, щоб спіраль Архімеда була єдиним допоміжним засобом, то вони стають вирішуваними.

Щоб розділити $\mathrm{\angle }BAC$ на $n$ рівних частин, поєднаємо його зі спіраллю Архімеда таким чином, щоб його сторона $AB$ сумістилася з полярною віссю $Ox$, а вершина $A$ кута сумістилася з полюсом $O$ спіралі Архімеда. Відрізок другої сторони $AD$ кута, від його вершини до точки $D$ перетину цієї сторони зі спіраллю, розділимо на $n$ рівних частин. Використовуючи теорему Фалеса про пропорційні відрізки, це можна зробити лише за допомогою циркуля і лінійки. Для цього проведемо ще один промінь з вершини кута $A$ і за допомогою циркуля позначимо на ньому $n$ однакових за довжиною відрізків. З'єднаємо кінцеву точку останнього відрізка з точкою $D$ і через $n-1$ точки поділу проведемо до цієї лінії низку паралельних ліній до їх перетину з прямою $AC$. Точки перетину паралелей зi стороною $AC$ ділять відрізок $AD$ на $n$ однакових за довжиною відрізків. Далі через кожну з $n-1$ точок поділу відрізка $AD$ з вершини кута $A$ проведемо дуги кіл до їх перетину зі спіраллю Архімеда, і отримані точки на спіралі Архімеда з'єднаємо з вершиною $A$. Таким чином, отримаємо поділ даного кута на $n$ рівних частин.

Квадратура круга, виконана Архімедом

Квадратура круга: F(Кругаїї(M,r))=F(ABCD)=F(CJHG)

Для вирішення задачі квадратури круга, тобто побудови квадрата, рівновеликого даному кругу радіуса $r$, окреслимо коло радіусом $r$ з центром в початку координат, та в цій системі також побудуємо спіраль Архімеда з полюсом в початку координат. Спіраль перетинає вісь y точці $E$ і довжина відрізка $ME$ дорівнює $\frac{r\pi }{2}$, оскільки відповідний кут повороту полярної осі дорівнює $\frac{\pi }{2}$. Тоді прямокутник, побудований на діаметрі кола і висотою |ME| має таку ж площу, як і круг. Використовуючи теорему про висоту прямокутного трикутника, прямокутник можна перетворити на квадрат рівної площі.

Див. також

• Гіперболічна спіраль
• Жезл (спіраль)
• Логарифмічна спіраль
• Спіраль Ферма

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:PlanetMath
• Шаблон:Springer
• Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Spiral of Archimedes на сайті MacTutor (англ.)
• Ferréol Robert , SPIRALE D'ARCHIMÈDE, на сайті MATHCURVE.COM, 2024

Джерела інформації

• Шаблон:УРЕ
• Шаблон:Фіхтенгольц.укр

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Cite book

• Шаблон:Cite book

• Шаблон:Cite book

• Шаблон:Cite book