Плоска крива

У математиці, плоска крива являє собою криву в площині, що може бути Еклідовою площиною, або проєктивною площиною. Найбільш часто досліджувані випадки — гладкі криві площини (включаючи частичні криві площині), і алгебраїчні криві площини.

Гладка крива площини

Гладка крива площини — крива в дійсній евклідовій площині R² і є одновимірним гладким многовидом. Це означає, що гладка крива площини — крива площини, яка «локально схожа на лінію», в тому сенсі, що біля кожної точки, вона може бути нанесена на карту до лінії гладкой функції. Еквівалентно, гладка крива площині може бути локально описана рівнянням Шаблон:Nowrap , де Шаблон:Nowrap — гладка функція, і часткові похідні Шаблон:Nowrap і Шаблон:Nowrap ніколи одночасно не дорівнюють 0 в точці кривої.

Алгебрична крива площини

Алгебрична крива площини — крива в проєктивній площині, задана одним багаточленним рівнянням Шаблон:Nowrap (або Шаблон:Nowrap, де F — гомогенний поліном в проєктному випадку).

Алгебричні криві вивчаються з 18-го століття.

У кожної алгебричної кривої площині є степінь, степінь рівняння визначення, яке дорівнює, у разі алгебраїчно замкненої області, числу перетинів кривої з лінією в загальному положенні. Наприклад, у кола, даного рівнянням Шаблон:Nowrap є степінь 2. Пласкі алгебраїчні криві 2 степеня без особливостей називають конічними перетинами, а їх проєктивним доповненням, усі ізоморфні, з точністю до проєктивного доповнення, колу Шаблон:Nowrap (який є проєкцією кривої рівняння Шаблон:Nowrap). Криві площини 3 степеня називають кубічними кривими плоскості і, якщо вони — без особливостей, овальні криві. Криві четвертого ступеня називають біквадратним кривими плоскості.

Приклади

Назва	неявне рівняння	Параметричне рівняння	Функція	Графік
Пряма лінія	$ax+by=c$	$(x_0+\alpha t,y_0+\beta t)$	$y=mx+c$
Коло	$x^2+y^2=r^2$	$(r\cos t,r\sin t)$
Парабола	$y-x^2=0$	$(t,t^2)$	$y=x^2$
Еліпс	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$	$(a\cos t,b\sin t)$
Гіпербола	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$	$(a\cosh t,b\sinh t)$

Див. також

• Алгебрична крива
• Диференціальна геометрія

• Алгебрична геометрія

Посилання

• Шаблон:MathWorld