Круг

Круг

Шаблон:Otheruses Круг, кружа́ло або диск (від Шаблон:Lang-la, що походить від Шаблон:Lang-el — «тарілка») — геометрична фігура, обмежена колом.

Іншими словами, круг — це множина, яка складається з усіх точок площини, відстань від яких до даної точки (центра круга) не перевищує заданої відстані (радіуса круга).

Також круг можна означити як частину площини, що обмежена колом і об'єднана з самим цим колом. Шаблон:SfnШаблон:Rp

Коло є межею круга.

Круг називається замкненим або відкритим в залежності від того чи містить він коло, яке його обмежує. В декартових координатах, відкритий круг з центром $(a,b)$ та радіусу R задається формулою

$D=\{(x,y)\in {ℝ}^2:(x-a{)}^2+(y-b{)}^2<R^2\}$

Закритий круг задається нестрогою нерівністю

$\bar{D}=\{(x,y)\in {ℝ}^2:(x-a{)}^2+(y-b{)}^2⩽R^2\}.$

Куля є узагальненням поняття круга на метричний простір.

Інколи замість терміна круг використовують термін диск.

Термінологія

Центр, радіус, хорда і діаметр кола є центром, радіусом, хордою та діаметром відповідного круга.

Частини круга:

1. 1 Круговий сектор — частина круга, що обмежена двома його радіусами та дугою кола між цими радіусами.
   Також, круговий сектор — частина круга, яка лежить усередині відповідного центрального кута. Шаблон:SfnШаблон:Rp
   Площу сектора круга радіуса $R$ можна визначити за формулою: Шаблон:SfnШаблон:Rp

$S_{\text{сект.}}=\frac{\pi \cdot R^2}{360}\cdot \alpha =\frac{\phi \cdot R^2}{2}$
де $\alpha$ — градусна міра центрального кута;
$\phi$ — міра центрального кута в радіанах.

1. 2 Круговий сегмент — частина круга, що обмежена дугою та хордою, що сполучає її кінці. Шаблон:SfnШаблон:Rp
   Також, круговий сегмент — спільна частина круга і півплощини. Шаблон:SfnШаблон:Rp
   Площу сегмента круга радіуса $R$ можна визначити за формулою: Шаблон:SfnШаблон:Rp

$S_{\text{сегм.}}=\frac{\pi \cdot R^2}{360}\cdot \alpha \pm S_{\mathrm{△}AOB}$
Шаблон:Ref-ruде $\alpha$ — градусна міра центрального кута.

1. 3 Півкруг — сегмент, якому відповідає розгорнутий кут.Шаблон:SfnШаблон:Rp
   Також півкруг — частина круга, що обмежена дугою півкола та діаметром.

1. 4 Кільце — частина площини, що обмежена двома концентричними колами.

Площею круга називають площу фігури, що обмежена колом. Площа круга обчислюється за формулою:Шаблон:SfnШаблон:Rp

$S=\pi R^2$, де $\pi \approx 3,141592654$ — константа пі.

Периметром круга називають довжину кола, що його обмежує:

$L=2\pi R.$

Властивості

• Круг — центрально-симетрична фігура.
• При обертанні площини відносно центра круг переходить сам у себе.
• Круг є опуклою фігурою.

• (Ізопериметрична нерівність) Круг є фігурою, що має найбільшу площу при заданому периметрі. Або, що те ж саме, що має найменший периметр при заданій площі.
• Площу круга можна визначити, як границю послідовності площ правильних багатокутників, вписаних у відповідне коло, коли довжини сторін наближаються до нуля.Шаблон:SfnШаблон:Rp

Круг в метричному просторі

Поняття кола дослівно узагальнюється на випадок довільних метричних просторів. На відміну від випадку евклідових просторів, при довільних метриках круги метричного простору можуть бути дуже химерно влаштовані — зокрема, у разі дискретної метрики можна побудувати приклад, коли відкритий та замкнений круги певного радіуса збігаються.

Однак деякі властивості все ж зберігаються, а саме: опуклість та наявність центральної симетрії.

Наприклад, якщо розглянути вуличну метрику, яка на евклідовій площині задається співвідношенням:

$\rho ((x_1,y_1);(x_2,y_2))=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$,

то одиничним колом з центром в початку координат $(0,0)$ буде квадрат з вершинами $(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$.

В цій метриці, формула круга з центром в $(0,0)$ радіусу R буде наступна:

$\rho ((0,0);(x,y))=|x|+|y|<R.$

Див. також

• Коло
• Куля
• Число пі
• Квадратура круга
• Круговий трикутник

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга

Посилання

• Довжик М. В. «Коло, круг, сегмент, сектор. Формули та властивості кола». на сайті OnlineMSchool