Теорема Фалеса про пропорційні відрізки

Теорема Фалеса — одна із теорем планіметрії. У математичній літературі країн колишнього Радянського Союзу відома як теорема Фалеса та узагальнена теорема Фалеса (теорема про пропорційні відрізки).

У європейській літературі теоремою Фалеса найчастіше називають іншу теорему.

Історія

Теорема Фалеса належить давньогрецькому математику і філософу Фалесу Мілетському. За легендою, Фалес Мілетський знаходив висоту піраміди Хеопса, вимірюючи довжину її тіні на землі та довжину тіні палиці, вимірюваної висоти. Найперше письмове доведення цієї теореми подано в книзі «Начала» (книга VI).

Формулювання

Теорема Фалеса: якщо паралельні прямі, що перетинають дві задані прямі а і b, відтинають на одній прямій рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки й на іншій прямій.

A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3},

то

B_{1} B_{2} = B_{2} B_{3} .

Узагальнена теорема Фалеса: паралельні прямі, що перетинають дві задані прямі а і b, відтинають на них пропорційні відрізки.

\frac{A_{1} A_{2}}{B_{1} B_{2}} = \frac{A_{2} A_{3}}{B_{2} B_{3}} = \frac{A_{1} A_{3}}{B_{1} B_{3}} .

Доведення теореми Фалеса

Нехай дано паралельні прямі $A_{1} B_{1} ∥$ $A_{2} B_{2} ∥$ $A_{3} B_{3}$ , які перетинають прямі $a$ і $b$ , причому $A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3}$ (дивитись праворуч Малюнок 1).

Через точки $A_{1}$ і $A_{2}$ проведено прямі $A_{1} M$ і $A_{2} K$ , паралельні прямій $b$ .

$△ A_{1} A_{2} M = △ A_{2} A_{3} K$ за другою ознакою рівності трикутників, оскільки:

1) $A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3}$ — за умовою,

2) $∠ A_{1} A_{2} M = ∠ A_{2} A_{3} K$ — відповідні кути при паралельних прямих $M A_{2}$ і $K A_{3}$ ,

3) $∠ A_{2} A_{1} M = ∠ A_{3} A_{2} K$ — відповідні кути при паралельних прямих $A_{1} M$ і $A_{2} K$ .

З рівності трикутників $△ A_{1} A_{2} M = △ A_{2} A_{3} K$ $\Rightarrow$ $A_{1} M$ = $A_{2} K$ , як відповідні сторони рівних трикутників.

З побудови (Малюнок 1) чотирикутник $A_{1} B_{1} B_{2} M$ — паралелограм, тому $A_{1} M = B_{1} B_{2}$ .

З побудови (Малюнок 1) чотирикутник $A_{2} B_{2} B_{3} K$ — паралелограм, тому $A_{2} K = B_{2} B_{3}$ .

Звідси $A_{1} M = A_{2} K$ і $B_{1} B_{2} = B_{2} B_{3}$ .

Доведення узагальненої теореми Фалеса

Нехай прямі $a$ і $b$ перетинають паралельні прямі у точках $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ і $B_{1}, B_{2}, B_{3}$ відповідно (дивитись праворуч Малюнок 2).

Доведемо, що $\frac{A_{1} A_{2}}{A_{1} A_{3}} = \frac{B_{1} B_{2}}{B_{1} B_{3}}$ для випадку, коли існує відрізок такої довжини $δ$ , який можна відкласти ціле число разів на відрізку $A_{1} A_{3}$ і $A_{1} A_{2}$ . Нехай $A_{1} A_{3} = n δ$ , $A_{1} A_{2} = m δ$ і $n > m$ . Поділимо відрізок $A_{1} A_{3}$ на $n$ рівних частин (довжиною $δ$ ), точка $A_{2}$ - одна з точок поділу. Через точки поділу проведемо прямі, паралельні $A_{3} B_{3}$ . За теоремою Фалеса ці прямі ділять відрізок $B_{1} B_{3}$ на рівні відрізки деякої довжини $δ_{1}$ . Отримаємо: $B_{1} B_{3} = n δ_{1}$ , $B_{1} B_{2} = m δ_{1}$ , $\frac{A_{1} A_{2}}{A_{1} A_{3}} = \frac{m δ}{n δ} = \frac{m}{n}$ і $\frac{B_{1} B_{2}}{B_{1} B_{3}} = \frac{m δ_{1}}{n δ_{1}} = \frac{m}{n}$ $⟹$ $\frac{A_{1} A_{2}}{A_{1} A_{3}} = \frac{B_{1} B_{2}}{B_{1} B_{3}}$ .

Література

Шаблон:Книга

Посилання

Шаблон:УСЕ-4

Шаблон:Math-stub

Теорема Фалеса про пропорційні відрізки

Зміст

Історія

Формулювання

Доведення теореми Фалеса

Доведення узагальненої теореми Фалеса

Література

Посилання

Навігаційне меню

Теорема Фалеса про пропорційні відрізки

Історія

Формулювання

Доведення теореми Фалеса

Доведення узагальненої теореми Фалеса

Література

Посилання

Навігаційне меню

Пошук