Степенева функція

Шаблон:UniboxСтепене́ва функція — функція вигляду $f(x)=x^a$, де a — показник степеню, дійсне число.

Властивості

Область визначення: $(0,\mathrm{\infty })$ при $a<0$, $[0,\mathrm{\infty })$ при $a>0$.

При натуральних показниках степеня $a$ область визначення розширюється на всю числову вісь: $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$.

Область значень: $(0,\mathrm{\infty })$ при $a<0$, $[0,\mathrm{\infty })$ при $a>0$.

Монотонно спадає при $a<0$, монотонно зростає при $a>0$. При а > 0 функція має єдиний нуль в точці x= 0. Точок перетину не має.

При $a<0$ має особливу точку при $x=0$.

Похідна

${\left(x^a\right)}^{\prime }=a{x}^{a-1}$

Невизначений інтеграл

$\int x^{a}dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C$

Аналітичне продовження

Степенева функція комплексного аргументу

$f(z)=z^a$

аналітична (голоморфна) всюди, окрім точки z = 0 при нецілих значеннях показника $a$.

При раціональному показнику $a=p/q$, де $p$ та $q$ — цілі числа, функція визначається на рімановій поверхні із q листів, розріз проводиться вздовж півосі $x=\text{Re }z>0$.

Таким чином, якщо скористатися представленням комплексного числа в експоненційній формі,

$z=r{e}^{i\phi }$,

то $\phi$ змінюється від 0 до $2\pi q$.

$f(z)=z^a=r^a{e}^{ip\phi /q}$.

Для дійсного a — кількість ріманових листів безмежна.

Див. також

• Аналітичне продовження

Посилання

• Шаблон:Клепко ВМ
• Шаблон:Фіхтенгольц.укр