Невизначений інтеграл

Шаблон:Числення Неви́значений інтегра́л для функції f — це сукупність усіх первісних цієї функції.

Завдання диференціального числення — обчислення похідної від заданої функції y = f(x). Завдання інтегрального числення протилежне: потрібно визначити функцію, похідна від якої відома. Основоположними поняттями інтегрального числення, є поняття первісної та невизначеного інтегралу.

Застосування невизначених інтегралів

• у задачах про обчислення швидкості або прискорення руху тіла;
• у задачах про обчислення визначених інтегралів (див. формулу Ньютона-Лейбніца);
• для розв'язання диференціальних рівнянь.

Невизначений інтеграл

Невизначеним інтегралом від функції f(x)=2x є сукупність її первісних x²+C, де C — довільна стала

Шаблон:МатОзначення Нехай функція F — первісна для f на J. Невизначеним інтегралом від функції f називається сукупність усіх первісних цієї функції, тобто вираз

$\int f(x)dx=F(x)+C,x\in J,$

де C ∈ R — довільна стала.

Функція f називається підінтегральною функцією, f(x)dx — підінтегральним виразом, C  — сталою інтегрування, x — змінною інтегрування.

З геометричної точки зору, невизначений інтеграл — це сукупність (сімейство) ліній F(x) + C (див. Рис.).

Властивості невизначеного інтеграла

З означень первісної та невизначеного інтеграла випливають наступні властивості (за умов існування первісних та похідних на інтервалі J):

$1.\frac{d}{dx}\int f(x)dx=f(x),x\in J;$

$2.\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+C,x\in J;$

$3.\mathrm{\forall }\alpha \in ℝ,\alpha \ne 0:\int \alpha f(x)dx=\alpha \int f(x)dx,x\in J;$

$4.\int (f_1(x)+f_2(x))dx=\int f_1(x)dx+\int f_2(x)dx,x\in J.$

Методи обчислення невизначених інтегралів

Для обчислення невизначених інтегралів використовуються

• Таблиця основних формул інтегрування
• Метод підстановки (або формула заміни змінної)
• Метод інтегрування частинами

За допомогою згаданих методів можна обчислювати невизначені інтеграли у вигляді скінченних комбінацій елементарних функцій. Проте, не всі інтеграли можна виразити через елементарні функції. Відомо небагато класів функцій, інтегрування яких, у підсумку дає елементарні функції. До цих класів відносяться раціональні, тригонометричні, показникові функції та функції з радикалами.

Якщо ж інтеграл не можна виразити скінченною комбінацією елементарних функцій, тоді його розглядають як нову функцію (яка є інтегралом Рімана зі змінною верхнею межею інтегрування) і обчислюють за допомогою рядів або нескінченних добутків елементарних функцій.

Так, наприклад, інтеграли

$\int \frac{1}{\ln x}dx,\int e^{x^2}dx$

існують, проте через елементарні функції не виражаються.

Див. також

• Невизначений інтеграл функції комплексної змінної
• Первісна
• Інтегральне числення
  • Визначений інтеграл
    • Інтеграл Рімана
    • Інтеграл Стілтьєса (або інтеграл Рімана—Стілтьєса)
    • Інтеграл Лебега
    • Інтеграл Даніелла
    • Інтеграл Бохнера
  • Відомі інтеграли

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Клепко ВМ