Раціональна функція

Раціональна функція однієї змінної — це алгебраїчний вираз, що є відношенням двох многочленів, тобто має вигляд

$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{a_n{x}^n+\dots +a_{1}x+a_0}{b_m{x}^m+\dots +b_{1}x+b_0}.$

При цьому коефіцієнти многочленів належать деякому заздалегідь визначеному полю, наприклад, множині дійсних або комплексних чисел. Причому коефіцієнти зовсім не обов'язково мають бути раціональними числами.

Степенем раціональної функції називається максимум з степенів многочленів P та Q. Раціональні функції степеня 1 називаються перетворенням Мебіуса.

Раціональна функція визначена для всіх значень змінних, крім тих, при яких знаменник перетворюється в нуль.

Функції, які неможливо представити у вигляді відношення двох многочленів, називають ірраціональними функціями.

На раціональні функції поширюються арифметичні дії (додавання, множення, віднімання і ділення). Сукупність усіх раціональних функцій сама утворює поле, так зване поле раціональних функцій. Раціональні функції належать до ширшого класу елементарних функцій.

Так само визначаються раціональні функції кількох змінних

$R(x)=\frac{P_n(x_1,\dots ,x_n)}{Q_m(x_1,\dots ,x_m)}$

Властивості

• Будь-який вираз, який можна отримати зі змінних $x_1,\dots ,x_n$ за допомогою чотирьох арифметичних дій, є раціональною функцією.
• Множина раціональних функцій замкнута щодо арифметичних дій і операції композиції.
• Будь-яка раціональна функція може бути представлена ​​у вигляді суми найпростіших дробів (див. Метод невизначених коефіцієнтів), це застосовується при аналітичному інтегруванні.

Приклади

Раціональна функція $f(x)=\frac{x^3-2x}{2(x^2-5)}$ не визначена при $x^2=5\iff x=\pm \sqrt{5}$.

Раціональна функція $f(x)=\frac{x^2+2}{x^2+1}$ визначена на всіх дійсних числах, але не на всіх комплексних числах. Невизначеність виникає коли x є квадратним коренем з $-1$ (т.з. $i$ - уявна одиниця або $-i$), коли виникає ділення на нуль: $f(i)=\frac{i^2+2}{i^2+1}=\frac{-1+2}{-1+1}=\frac{1}{0}$.

Раціональна функція $f(x)=\frac{x^3-2x}{2(x^2-5)}$, при x що прямує до нескінченності, прямує до $\frac{x}{2}$.

Функція-константа, наприклад f(x) = π є раціональною функцією тому що константа є многочленом (виродженим). Зауваження. Функція є раціональною навіть коли f(x) є ірраціональним числом при всіх x.

Раціональна функція $f(x)=\frac{x}{x}$ дорівнює 1 для всіх x крім 0, що є усувною особливою точкою.

Див. також

• Алгебраїчні функції

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр