Многочлен

Графік поліноміальної функції 3-го степеня

Многочленом, багаточленом або поліномом однієї змінної в математиці називається вираз вигляду

Y = $c_0+c_{1}x+\dots +c_n{x}^n$,

де $c_i$ є сталими коефіцієнтами (константами), а $x$ — змінна.

Наприклад, $12+3.1x+2x^6$, та $1+x+x^2+x^3$, є многочленами, але $\frac{1}{x^2+1}$ та $\sqrt{x^2+1}$ не є многочленами.

Многочленом від декількох змінних (багатовимірним многочленом) називається скінченна сума, в якій кожен з доданків є добутком скінченного числа цілих степенів змінних та константи:

$c_0+c_{1}x{y}^2+c_2{z}^3+c_{3}xyz+\dots$.

Многочлени є одним з найважливіших класів елементарних функцій.

Пов'язані терміни

В многочлені $c_0+c_{1}x+\dots +c_n{x}^n$ доданки $c_i{x}^i$ називаються його членами. Якщо $c_n\ne 0$, то $c_n{x}^n$ називається старшим членом, а його степінь $n$ степенем многочлена. Степінь многочлена $f(x)$ позначається $\mathrm{deg}(f)$. Член нульового степеня $c_0$ називається вільним членом.

Ще є нульовий многочлен $f(x)=0$ (інколи пишуть $f(x)\equiv 0$, щоб підкреслити, що це не рівняння, а тотожність), який не має жодного члена, тому визначення степеня многочлена до нього застосувати не можна. Для зручності вважають, що степінь нульового многочлена дорівнює мінус нескінченності, $-\mathrm{\infty }$.

Многочлен нульового степеня називається константою, першого степеня — лінійним, другого степеня — квадратичним, третього степеня — кубічним. Многочлени степеня більше нуля ми будемо називати неконстантними або нетривіальними.

Многочлен з одним членом називається одночленом, з двома членами — двочленом, з трьома — тричленом.

Наприклад, $x^3+2x+5$ — кубічний тричлен з членами $x^3$, $2x$ і $5$, причому $x^3$ — це старший член, а $5$ — вільний член.

Операції над многочленами

• Сума многочленів є многочленом. Степінь суми многочленів менше або дорівнює максимуму степенів доданків.

$\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i+\sum _{i=0}^m{b}_i{x}^i=\sum _{i=0}^{\max \{n,m\}}(a_i+b_i)x^i$

• Добуток многочленів є многочленом. Степінь добутку многочленів дорівнює сумі степенів співмножників.

$\left(\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i\right)\cdot \left(\sum _{i=0}^m{b}_i{x}^i\right)=\sum _{k=0}^{n+m}\left(\sum _{i+j=k}{a}_i{b}_j\right)x^k$

• Многочлени можна ділити з остачею: якщо $g(x)$ — ненульовий многочлен, то будь-який многочлен $f(x)$ можна представити у вигляді

$f(x)=q(x)g(x)+r(x)$,

де $q(x)$ і $r(x)$ — многочлени, причому $\mathrm{deg}(r)<\mathrm{deg}(g)$.

Корінь многочлена

Шаблон:Докладніше Многочлен можна розглядати як функцію від змінної $x$. Число $a$ називається коренем многочлена $f(x)$, якщо воно є коренем відповідної функції, тобто якщо $f(a)=0$. Це рівносильно умові «Многочлен $f(x)$ ділиться на двочлен $x-a$ без остачі» (див. теорему Безу). Якщо $f(x)$ ділиться на $(x-a{)}^2$ без остачі, то корінь $a$ називається кратним; якщо не ділиться, то простим. Кратністю кореня називається найбільше число $k$, для якого $f(x)$ ділиться на $(x-a{)}^k$ без остачі (таким чином, прості корені — це корені кратності 1).

Розкладання многочлена на нескоротні множники

Шаблон:Див. також Якщо неконстантний многочлен $f(x)$ можна представити у вигляді $f(x)=g(x)h(x)$, де $g(x)$ і $h(x)$ — многочлени степеня не нижче першого, то кажуть, що $f(x)$ розкладено на нетривіальні множники $g(x)$, $h(x)$. Якщо ж такого представлення не існує, многочлен називають нескоротним. Зрозуміло, що оскільки

$\mathrm{deg}(f)=\mathrm{deg}(g)+\mathrm{deg}(h)$, $\mathrm{deg}(g)>0$ і $\mathrm{deg}(h)>0$,

то

$\mathrm{deg}(g)<\mathrm{deg}(f)$ і $\mathrm{deg}(h)<\mathrm{deg}(f)$.

Якщо якийсь з множників $g(x)$, $h(x)$ можна розкласти на нетривіальні множники, то ми продовжимо процес розкладання допоки це можливо. Оскільки на кожному кроці степінь множників зменшується, цей процес є скінченним. Отже в результаті ми отримаємо представлення $f(x)$ у вигляді

$f(x)=f_1(x)f_2(x)\dots f_m(x)$,

де многочлени $f_i(x)$ є нескоротними. Таке представлення однозначно, з точністю до перестановки множників.

Основна теорема алгебри

Комплексний многочлен степеня $n>0$ має рівно $n$ комплексних коренів, з урахуванням кратності.

Інакше кажучи, його можна розкласти на $n$ лінійних множників:

$f(z)=c_n(z-z_1)(z-z_2)\dots (z-z_n),c_n,z_i\in ℂ$

Таким чином, серед многочленів з комплексними коефіцієнтами нескоротними є лише лінійні многочлени.

Узагальнений многочлен

Нехай $𝐅=\{f_0(x),f_1(x),\dots ,f_m(x)\}$ — задана на $[a,b]$ система линійно незалежних функцій. Узагальненим многочленом будемо називати функцію

$P_m(x):=a_0{f}_0(x)+a_1{f}_1(x)+\dots +a_m{f}_m(x)$

де $a_0,a_1,\dots ,a_m$ — довільні дійсні числа (коэфіціенти узагальненого многочлена).

Приклади

• $𝐅=\{1,x,\dots ,x^m\}$, многочлен
• $𝐅=\{1,\cos (x),\dots ,\cos (mx)\}$, тригонометричний многочлен
• $𝐅=\{J_0(x),J_1(x),\dots ,J_m(x)\}$, де $J_{\alpha }(x)$ функції Бесселя

Див. також

• Одночлен
• Многочлен Тейлора
• Матричний многочлен

Джерела

• Шаблон:Завало.Елементи аналізу. Алгебра многочленів.
• Розклад матричних многочленів на множники: монографія / П. С. Казімірський ; [відп. ред. Д. О. Супруненко] ; НАН України, Ін-т приклад. проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача. — 2-ге вид., виправл. — Львів: ІППММ, 2015. — 282 с. : 1 арк. портр. — Бібліогр.: с. 274—280 (79 назв). — ISBN 978-966-02-7655-0
• Шаблон:БСЭ
• Шаблон:Бурбаки.Алгебра.ч2
• Шаблон:Ван.дер.Варден.Алгебра