Функції Бесселя

Даніель Бернуллі

Фрідріх Бессель

Функції Бесселя в математиці — сімейство функцій, що є канонічними розв'язками диференціального рівняння Бесселя:

$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2-{\alpha }^2)y=0,$

де $\alpha$ — довільне дійсне число, зване порядком. Найчастіше використовувані функції Бесселя — функції цілих та напівцілих порядків.

Хоча $\alpha$  і $-\alpha$ породжують однакові рівняння, зазвичай домовляються про те, щоб їм відповідали різні функції (це робиться, наприклад, для того, щоб функція Бесселя була гладкою по $\alpha$).

Функції Бесселя вперше були визначені швейцарським математиком Даніелем Бернуллі, а названі на честь Фрідріха Бесселя.

Застосування

Рівняння Бесселя виникає під час знаходження розв'язків рівняння Лапласа і рівняння Гельмгольца в циліндричних і сферичних координатах. Тому функції Бесселя застосовуються при розв'язуванні багатьох задач про поширення хвиль, статичні потенціали тощо, наприклад:

• електромагнітні хвилі в циліндровому хвилеводі;
• теплопровідність в циліндрових об'єктах;
• форми коливання тонкої круглої мембрани
• швидкість частинок в заповненому рідиною циліндрі, що обертається навколо своєї осі.

Функції Бесселя застосовуються і при розв'язуванні інших задач, наприклад, при обробці сигналів.

Визначення

Оскільки наведене рівняння є рівнянням другого порядку, у нього повинно бути два лінійно незалежних розв'язки. Проте залежно від обставин вибираються різні визначення цих розв'язків. Нижче наведені деякі з них.

Функції Бесселя першого роду

Функціями Бесселя першого роду, що позначаються $J_{\alpha }(x)$, є розв'язки, скінченні в точці $x=0$ при цілих або невід'ємних $\alpha$. Вибір конкретної функції та її нормалізації визначаються її властивостями. Можна визначити ці функції за допомогою розкладання в ряд Тейлора біля нуля (або в загальніший степеневий ряд при нецілих $\alpha$):

$J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m}{m!\mathrm{\Gamma }(m+\alpha +1)}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2m+\alpha }$

Тут $\mathrm{\Gamma }(z)$ є гамма-функція Ейлера, узагальнення факторіалу на нецілі значення. Графік функції Бесселя схожий на синусоїду, коливання якої згасають пропорційно $\frac{1}{\sqrt{x}}$, хоча насправді нулі функції розташовані не періодично.

Нижче наведені графіки $J_{\alpha }(x)$ для $\alpha =0,1,2$:

Графік функції Бесселя першого роду J

Якщо $\alpha$ не є цілим числом, функції $J_{\alpha }(x)$ і $J_{-\alpha }(x)$ лінійно незалежні і, отже, є розв'язками рівняння. Але якщо $\alpha$ ціле, то правильне таке співвідношення:

$J_{-\alpha }(x)=(-1{)}^{\alpha }{J}_{\alpha }(x)$

Воно означає, що на разі функції лінійно залежні. Тоді другим розв'язком рівняння стане функція Бесселя другого роду (дивись нижче).

Інтеграли Бесселя

Можна надати інше визначення функції Бесселя для цілих значень $\alpha$, використовуючи інтегральне зображення:

$J_{\alpha }(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos (\alpha \tau -x\sin \tau )d\tau$

Цей підхід використовував Бессель, дослідивши за його допомогою деякі властивості функцій. Можливе і інше інтегральне зображення:

$J_{\alpha }(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{e}^{i(\alpha \tau -x\sin \tau )}d\tau$

Функції Бесселя другого роду

Шаблон:Main Функції Бесселя другого роду — розв'язки $Y_{\alpha }(x)$ рівняння Бесселя, нескінченні в точці $x=0$.

$Y_{\alpha }(x)$ також іноді називають функцією Неймана, і позначають як $N_{\alpha }(x)$. Ця функція пов'язана з $J_{\alpha }(x)$ таким співвідношенням:

$Y_{\alpha }(x)=\frac{J_{\alpha }(x)\cos (\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin (\alpha \pi )},$

де у разі цілого $\alpha$ береться границя по $\alpha$, обчислювана, наприклад, за допомогою правила Лопіталя.

Нижче приведені графіки $Y_{\alpha }(x)$ для $\alpha =0,1,2$:

Графік функції Бесселя другого роду Y

Властивості

Асимптотика

Для функцій Бесселя відомі асимптотичні формули. При малих аргументах $(0<x\ll \sqrt{\alpha +1})$ і невід'ємних $\alpha$ вони виглядають так:

$J_{\alpha }(x)\to \frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\alpha }$

$Y_{\alpha }(x)\to \{\begin{array}{cc}\frac{2}{\pi }[\ln (x/2)+\gamma ]& \text{:}\alpha =0\\ \\ -\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\pi }{\left(\frac{2}{x}\right)}^{\alpha }& \text{:}\alpha >0\end{array}$

де $\gamma$ — стала Ейлера — Маскероні $(0.5772\dots )$, а $\mathrm{\Gamma }$ — гамма-функція Ейлера. Для великих аргументів $(x\gg |{\alpha }^2-1/4|)$ формули виглядають так

$J_{\alpha }(x)\to \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos (x-\frac{\alpha \pi }{2}-\frac{\pi }{4})$

$Y_{\alpha }(x)\to \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin (x-\frac{\alpha \pi }{2}-\frac{\pi }{4}).$

Гіпергеометричний ряд

Функції Бесселя можуть бути виражені через гіпергеометричну функцію:

$J_{\alpha }(z)=\frac{(z/2{)}^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}{}_0{F}_1(\alpha +1;-z^2/4).$

Таким чином, при цілих n функція Бесселя однозначна аналітична, а при нецілих — багатозначна аналітична.

Функції Бесселя як коефіцієнти рядів

Існує представлення для функцій Бесселя першого роду і цілого порядку через коефіцієнти ряду Лорана функції певного вигляду, а саме

$e^{\frac{z}{2}(w-\frac{1}{w})}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{J}_n(z)w^n$

Твірна функція для функції Бесселя $J_{\alpha }(x)$

$g(x,t)=\exp [\frac{x}{2}(t-\frac{1}{t})]=\sum _{\alpha =-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{J}_{\alpha }(x)t^{\alpha },$

де $J_{\alpha }(x)$визначена у області $0\le x\le \mathrm{\infty }.$

Розклад у ряд Лорана та коефіцієнти $J_{\alpha }(x)$ можна знайти

$J_{\alpha }(x)=\frac{1}{2\pi l}\underset{C}{\int }\frac{g(x,t)}{t^{n+1}}dt.$

В якості контура $C$ навколо точки $t=0$ обирається окружність одиничного радіусу у площині $t,$ де $t=\exp (i\theta ).$ Таким чином,

$J_{\alpha }(x)=\frac{1}{2\pi i}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{\exp \{[x(e^{i\theta }-e^{-i\theta })/2]\}i\exp (i\theta )d\theta }{[\exp (i\theta ){]}^{\alpha +1}}$

та

$J_{\alpha }(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{}{\overset{2\pi }{\int }}\exp [i(x\sin \theta -n\theta )]d\theta .$

Див. також

• Шаблон:Iw2
• Сферичні функції
• Шаблон:Iw2
• Шаблон:Iw2, Промінь Ейрі
• Твірний функціонал

Література

• Ватсон Г., «Теория бесселевых функций» т. 1,2 М., ИЛ, 1949 г.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. «Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены». Справочная математическая библиотека М. Физматгиз 1966 г. 296 с.
• Шаблон:Фіхтенгольц.укр