Signum-функція

У математиці, sign функція, signum функція, си́гнум-фу́нкція, зна́кова фу́нкція або функція знаку (з латинської signum «знак»)  — це непарна математична функція, яка «витягує» знак дійсного числа. У математичних виразах функція Шаблон:Math часто зустрічається як Шаблон:Math.

Означення

Функція знаку y = sgn(x)

Функція знаку дійсного числа Шаблон:Math визначається наступним чином:

$\mathrm{sgn}(x)=\{\begin{array}{cc}-1,& \text{якщо }x<0,\\ 0,& \text{якщо }x=0,\\ 1,& \text{якщо }x>0.\end{array}$

Або як:

$\mathrm{sgn}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left|x\right|,x\ne 0.$

Властивості

Будь-яке дійсне число може бути представлене у вигляді добутку його абсолютного значення і його функції знаку:

$x=\mathrm{sgn}(x)\cdot |x|.$

Звідси випливає, що при$x\ne 0$

$\mathrm{sgn}(x)=\frac{x}{|x|}=\frac{|x|}{x}.$

Так само і для будь-якого дійсного числа Шаблон:Math

$|x|=\mathrm{sgn}(x)\cdot x.$

Ми також можемо переконатися, що

$\mathrm{sgn}(x^n)=(\mathrm{sgn}(x){)}^n.$

Функція $\mathrm{sgn}(x)$ є похідною функції $y=|x|,$ з точністю до невизначеності при Шаблон:Math:

$\frac{\mathrm{d}|x|}{\mathrm{d}x}=\mathrm{sgn}(x)\text{ для }x\ne 0.$

Більш формально, в теорії інтегрування функцій  — це слабка похідна, а в теорії опуклих функцій субдиференціалом абсолютного значення при

$x=0$

є інтервал

$[-1,1]$

, «заповнення» функції знаку (субдиференціал абсолютного значення не є однозначним при

$x=0$

).

Функція знаку не є неперервною у точці x = 0

Похідна функції $\mathrm{sgn}(x)$ дорівнює 0 для всіх Шаблон:Math крім 0. Вона не є диференційовною при $x=0$ у звичайному сенсі, але диференційовною в узагальненому сенсі в теорії розподілу, похідною від функції $\mathrm{sgn}(x)$ є дельта-функція Дірака, що можна показати за допомогою тотожності

$\mathrm{sgn}(x)=2H(x)-1,$

де Шаблон:Math — Функція Гевісайда, Шаблон:Math. Використовуючи цю тотожність, легко знайти похідну:

$\frac{\mathrm{d}(\mathrm{sgn}(x))}{\mathrm{d}x}=2\frac{\mathrm{d}H(x)}{\mathrm{d}x}=2\delta (x).$

Перетворення Фур'є функції $\mathrm{sgn}(x)$ має вигляд

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{sgn}(x)e^{-ikx}\mathrm{d}x=\mathrm{p}\mathrm{.}\mathrm{v}\mathrm{.}\frac{2}{ik},$

де p.v. — головне значення інтеграла за Коші.

Функцію $\mathrm{sgn}(x)$ також можна виразити за допомогою дужки Айверсона

$\mathrm{sgn}(x)=-[x<0]+[x>0].$

Функцію $\mathrm{sgn}(x)$ можна записати з використанням функцій підлоги та абсолютного значення:

$\mathrm{sgn}(x)=\lfloor \frac{x}{|x|+1}\rfloor -\lfloor \frac{-x}{|-x|+1}\rfloor .$

Для Шаблон:Math неперервне наближення функції знаку має вигляд:

$\mathrm{sgn}(x)\approx \mathrm{th}(kx).$

Інше наближення має вигляд:

$\mathrm{sgn}(x)\approx \frac{x}{\sqrt{x^2+{\epsilon }^2}},$

яке стає «гострішим» при Шаблон:Math; зауважимо, що це похідна від функції Шаблон:Math. Це ґрунтується на тому факті, що $\frac{x}{\sqrt{x^2+{\epsilon }^2}}=\mathrm{sgn}(x)$ для всіх Шаблон:Math якщо Шаблон:Math, і дає переваги для простого узагальнення на багатовимірні аналоги функції знаку (наприклад, частинні похідні функції Шаблон:Math).

Комплексний випадок

Функцію $\mathrm{sgn}(x)$ можна узагальнити на комплексні числа:

$\mathrm{sgn}(z)=\frac{z}{|z|},$

для будь-якого комплексного числа Шаблон:Math, крім Шаблон:Math. Таким чином, значення функції $\mathrm{sgn}(z)$ буде точкою на одиничному колі комплексної площини, що найближча до точки Шаблон:Math. Тоді для Шаблон:Math

$\mathrm{sgn}(z)=e^{i\arg z},$

де $\arg (z)$ — аргумент комплексного числа.

Комплексний варіант

З міркувань симетрії та для належного узагальнення функції $\mathrm{sgn}(z)$ на множині дійсних чисел, зазвичай дану функцію на комплексній площині визначають і для Шаблон:Math:

$\mathrm{sgn}(0+0i)=0.$

Іншим узагальненням функції $\mathrm{sgn}(z)$ для дійсних і комплексних виразів є функція Шаблон:Math, що визначається як

$\mathrm{csgn}(z)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{якщо }\mathrm{R}\mathrm{e}(z)>0\\ -1,& \text{якщо }\mathrm{R}\mathrm{e}(z)<0\\ \mathrm{sgn}(\mathrm{I}\mathrm{m}(z)),& \text{якщо }\mathrm{R}\mathrm{e}(z)=0,\end{array}$

де Шаблон:Math — дійсна частина числа Шаблон:Math, а Шаблон:Math — комплексна частина Шаблон:Math. Тоді для Шаблон:Math маємо

$\mathrm{csgn}(z)=\frac{z}{\sqrt{z^2}}=\frac{\sqrt{z^2}}{z}.$

Узагальнена функція знаку

Для дійсних значень Шаблон:Math можна визначити узагальнену функцію (аналог функції знаку) Шаблон:Math, таку, що Шаблон:Math для всіх Шаблон:Math, у тому числі і в точці Шаблон:Math (на відміну від функції $\mathrm{sgn}(x)$, для якої Шаблон:Math). Ця узагальнена функція дозволяє побудувати алгебру узагальнених функцій, але ціною такого узагальнення є втрата комутативності. Зокрема, узагальнена функція знаку антикомутує з дельта-функцією Дірака

$\epsilon (x)\delta (x)+\delta (x)\epsilon (x)=0;$

крім цього, Шаблон:Math не можливо визначити при Шаблон:Math; і спеціальне позначення Шаблон:Math необхідне, щоб відрізнити її від функції знаку (Шаблон:Math не визначено, але Шаблон:Math).

Див. також

• Функція Гевісайда
• Дельта-функція Дірака
• Абсолютне значення
• Від'ємне число
• Сигмоїдна функція
• Прямокутна функція
• Тришляхове порівняння

Джерела

• Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Основные математические формулы. Справочник. — Минск: Вышэйшая школа, 1988. — 269 с.