Функція Гевісайда

Функція Гевісайда з H(0) = ½

Функція Гевісайда, H,  — це розривна функція дійсної змінної значення якої рівне 0 для від'ємних значень аргумента і рівне 1 для додатних значень аргумента. В більшості випадків значення функції в точці нуль H(0) не є важливим. Функція названа на честь англійського математика Олівера Гевісайда і широко використовується в теорії керування і обробці сигналів. В теорії ймовірності функція Гевісайда з 'H(0)=1 є функцією розподілу випадкової змінної, що майже напевно рівна нулю.

Функція Гевісайда є первісною дельта-функції Дірака і можна записати:

$H(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\delta (t)\mathrm{d}t$

В даній рівності зміст інтегрального виразу залежить від концепції узагальнених функцій, що використовується і рівність може не справджуватися в нулі.

Дискретна форма

Функцію Гевісайда можна також визначити і для дискретного аргументу n:

$H[n]=\{\begin{array}{cc}0,& n<0\\ 1,& n\ge 0\end{array}$

де n  — ціле число.

Дискретний одиничний імпульс тоді є першою різницею дискретної функції Гевісайда:

$\delta \left[n\right]=H[n]-H[n-1].$

і виконується рівність:

$H[n]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^n\delta [k]$

Аналітичні апроксимації

Для наближення функції Гевісайда гладкими функціями можна використати логістичні функції:

$H(x)\approx \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\tanh (kx)=\frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{-2kx}}$,

Якщо прийняти H(0) = ½, виконується рівність:

$H(x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2}(1+\tanh kx)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{-2kx}}.$

Існують і інші наближення, зокрема:

$H(x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\arctan (kx)$

$H(x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{erf}(kx).$

Інтегральне представлення

Функція Гевісайда може бути подана за допомогою наступного інтегрального представлення:

$H(x)=\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }-\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\tau +\mathrm{i}ϵ}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x\tau }\mathrm{d}\tau =\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\tau -\mathrm{i}ϵ}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x\tau }\mathrm{d}\tau .$

H(0)

Серед найпоширеніших значень функції в нулі використовуються H(0) = 0, H(0) = ½ або H(0) = 1. H(0) = ½ є одним з найпоширеніших варіантів оскільки тоді виконується:

$H(x)=\frac{1+\mathrm{sgn}(x)}{2}=\{\begin{array}{cc}0,& x<0\\ \frac{1}{2},& x=0\\ 1,& x>0.\end{array}$

Іноді також використовується загальний запис:

$H_a(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<0\\ a,& x=0\\ 1,& x>0.\end{array}$

Первісна і похідна

Первісною функцією для функції Гевісайда є: $R(x):=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}H(\xi )\mathrm{d}\xi =xH(x).$ (ReLU) де за визначенням:

$R(x):=\{\begin{array}{cc}x,& x\ge 0;\\ 0,& x<0\end{array}$

Похідною функції Гевісайда є дельта-функція Дірака: $dH(x)/dx=\delta (x).$

Історія

Ця функція використовувалася ще до появи її зручного позначення. Наприклад Шаблон:Iw в 1830-х роках опублікував декілька робіт присвячених функції $0^{0^x}$. На його думку, $0^x$ дорівнює 0, якщо $x>0$; 1, якщо $x=0$ (див. Нуль в нульовому степені); або $\mathrm{\infty }$, якщо $x<0$. Таким чином Лібрі робить висновок, що $0^{0^x}$ дорівнює 1, якщо $x>0$, і 0 в іншому випадку. Користуючись нотацією Айверсона це можна було б записати, як

$0^{0^x}=[x>0].$

Однак такої нотації в той час не було, і Лібрі вважав досягненням, що цю функцію можна виразити через стандартні математичні операції. Він використовував цю функцію, для вираження абсолютної величини (позначення $|x|$ тоді ще не було, воно було введене пізніше Вейєрштрассом) і індикатора таких умов як $a\le x\le b$, і навіть «$x$ є дільником $y$».

Див. також

• Дельта-функція Дірака
• Signum-функція