Головне значення інтеграла за Коші

Головне́ зна́чення інтегра́ла за Коші́ — це узагальнення поняття інтеграла Рімана, яке дозволяє обчислювати деякі розбіжні невласні інтеграли. Ідея головного значення інтеграла за Коші полягає в тому, що при наближенні інтервалів інтегрування до особливої точки з обох боків «з однаковою швидкістю» особливості нівелюють одна одну (за рахунок різних знаків ліворуч та праворуч), і в результаті можна отримати скінченну границю, яка і називається головним значенням інтегралу за Коші.

Так, наприклад, інтеграл $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{x}$ як невласний інтеграл ІІ роду не існує, однак він існує в сенсі головного значення інтеграла за Коші.

Означення головного значення інтеграла за Коші

Означення (для особливої точки «∞»)

Означення (для особливої точки «∞»). Нехай f(x) визначена на (−∞, +∞) та f ∈ R([−A, A]) для всіх A > 0, але невласний інтеграл І роду $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ є розбіжним. Якщо існує скінченна границя

$\underset{A\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-A}{\overset{A}{\int }}f(x)dx,$

то ця границя називається головним значенням інтеграла за Коші (або головним значенням в сенсі Коші) для функції f по проміжку (−∞, +∞) і позначається символом

$\mathrm{v}\mathrm{.}\mathrm{p}\mathrm{.}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx.$

При цьому кажуть, що функція f(x) інтегрована на (−∞, +∞) за Коші (або інтегрована на (−∞, +∞) в сенсі Коші).

Приклад. Розглянемо невласний інтеграл $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}xdx.$ Цей інтеграл є розбіжним, бо розбіжним є, наприклад, інтеграл $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}xdx,$ але існує головне значення даного інтеграла в сенсі Коші:

$\mathrm{v}\mathrm{.}\mathrm{p}\mathrm{.}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}xdx=\underset{A\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-A}{\overset{A}{\int }}xdx=\underset{A\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^2}{2}{|}_{-A}^A=0.$

Теорема.}

• Якщо f(x) — непарна на (−∞, +∞) та f ∈ R([−A, A]) для всіх A > 0, то f інтегровна на (−∞, +∞) за Коші.
• Якщо f(x) — парна на (−∞, +∞) та f ∈ R([−A, A]) для всіх A > 0, то збіжність інтеграла $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ еквівалентна збіжності інтеграла $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx.$

Означення (для скінченної особливої точки)

Файл:Cauchy principal value example.pdf

Значення площ фігур ліворуч та праворуч рівні при всіх ε ∈ (0, 2), тому головне значення інтеграла за Коші дорівнює нулю

Означення (для скінченної особливої точки). Нехай функція f : [a, b] → R задовольняє умовам:

1. існує δ > 0 таке, що f ∈ R([a, c − ε]) та f ∈ R([c + ε, b]) для всіх ε ∈ (0, δ);
2. розбіжним є невласний інтеграл другого роду $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx.$

Якщо існує скінченна границя

$\underset{\epsilon \to +0}{\lim }(\underset{a}{\overset{c-\epsilon }{\int }}f(x)dx+\underset{c+\epsilon }{\overset{b}{\int }}f(x)dx),$

то ця границя називається головним значенням інтеграла за Коші (або головним значенням в сенсі Коші) для функції f по відрізку [a, b] і позначається символом

$\mathrm{v}\mathrm{.}\mathrm{p}\mathrm{.}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx.$

При цьому кажуть, що функція f(x) інтегрована на [a, b] за Коші (або інтегрована на [a, b] в сенсі Коші).

Приклад. Розглянемо невласний інтеграл ІІ роду $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\frac{dx}{x}$ (див. Рис.) Він є розбіжним, оскільки розбіжним є, наприклад, інтеграл $\underset{-2}{\overset{0}{\int }}\frac{dx}{x}.$ При цьому у розумінні головного значення за Коші даний інтеграл існує і дорівнює нулю:

$\begin{array}{cc}\mathrm{v}\mathrm{.}\mathrm{p}\mathrm{.}\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\frac{dx}{x}& =\underset{\epsilon \to +0}{\lim }(\underset{-2}{\overset{-\epsilon }{\int }}\frac{dx}{x}+\underset{\epsilon }{\overset{2}{\int }}\frac{dx}{x})=\\ & =\underset{\epsilon \to +0}{\lim }(\ln |x|{|}_{-2}^{-\epsilon }+\ln |x|{|}_{\epsilon }^2)=\\ & =\underset{\epsilon \to +0}{\lim }(\ln |-\epsilon |-\ln |\epsilon |)=\\ & =0.\end{array}$

Випадок декількох особливих точок на проміжку інтегрування

Файл:CPV multipoints example.pdf

Сума площ фігур верхньої півплощини збігається з сумою площ фігур нижньої півплощини при всіх ε ∈ (0, 1), тому головне значення інтеграла в сенсі Коші дорівнює нулю

Приклад. Розглянемо невласний інтеграл $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{2x}{x^2-1}dx$ (див. Рис.). Особливими точками підінтегральної функції f(x) = 2x / (x²−1) є точки −1, 1 та ∞. Даний інтеграл є розбіжним, бо розбіжним є, наприклад, інтеграл

$\begin{array}{cc}\underset{2}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{2x}{x^2-1}dx& =\underset{A\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{2}{\overset{A}{\int }}\frac{2x}{x^2-1}dx=\\ & =\underset{A\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\ln |x^2-1|{|}_{x=2}^A=\\ & =\underset{A\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(\ln |A^2-1|-\ln 3)=\\ & =+\mathrm{\infty }.\end{array}$

Очевидно, що f ∈ R([1/ε, −1−ε]) ∩ R([−1+ε, 1−ε]) ∩ R([1+ε, 1/ε]) для всіх ε ∈ (0, 1) (бо є обмеженою на кожному з цих відрізків). Перевіримо інтегровність функції f в сенсі Коші:

$\begin{array}{cc}\mathrm{v}\mathrm{.}\mathrm{p}\mathrm{.}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{2x}{x^2-1}dx& =\underset{\epsilon \to 0+}{\lim }(\underset{-1/\epsilon }{\overset{-1-\epsilon }{\int }}\frac{2x}{x^2-1}dx+\underset{-1+\epsilon }{\overset{1-\epsilon }{\int }}\frac{2x}{x^2-1}dx+\underset{1+\epsilon }{\overset{1/\epsilon }{\int }}\frac{2x}{x^2-1}dx)=\\ & =\underset{\epsilon \to +0}{\lim }(\ln |x^2-1|{|}_{-1/\epsilon }^{-1-\epsilon }+\ln |x^2-1|{|}_{-1+\epsilon }^{1-\epsilon }+\ln |x^2-1|{|}_{1+\epsilon }^{1/\epsilon })=\\ & =0.\end{array}$

Отже, функція f є інтегровною в сенсі Коші на проміжку (−∞, +∞).

Див. також

• Невизначений інтеграл функції комплексної змінної
• Первісна
• Інтегральне числення
  • Визначений інтеграл
    • Інтеграл Рімана
    • Інтеграл Стілтьєса (або інтеграл Рімана—Стілтьєса)
    • Інтеграл Лебега
    • Інтеграл Даніелла
    • Інтеграл Бохнера
    • Невласний інтеграл
• Метод Самокиша — чисельний метод для обчислення інтегралів з особливостями.

Джерела

• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч2
• Шаблон:Фіхтенгольц.укр