Дужка Айверсона

Ду́жка Айверсона — функція, що повертає 1 для істинного висловлювання, і 0, якщо аргумент хибний:

$[P]=\{\begin{array}{cc}1,& \text{якщо }P\text{ істинне}\\ 0,& \text{якщо }P\text{ хибне}\end{array}$

Нотація, яку Кеннет Айверсон ввів для мови програмування APL, виявилася дуже зручним математичним позначенням, наприклад, з ним можна лаконічно визначити:

• символ Кронекера: ${\delta }_{ij}=[i=j]$ ,
• індикаторну функцію: ${\mathrm{𝟏}}_A(x)=[x\in A]$,
• функцію Гевісайда: $\theta (x)=[x⩾0]$,
• функцію знака числа: $\mathrm{sgn}(x)=[x>0]-[x<0]$.

Також нотація зручна при користуванні сумами, оскільки дозволяє виражати їх без обмежень на індекс підсумовування, наприклад:

$\sum _{i=1}^n{a}_i=\sum _k{a}_k[1⩽k⩽n]$,

тобто індекс $k$ пробігає всю множину $\mathbb{Z}$ цілих чисел, і формально підсумовується нескінченна кількість доданків, але лише скінченне число їх відмінне від нуля.

Приклад обчислення з використанням дужок Айверсона суми $S=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^n{a}_i{a}_j$ для послідовності $\{a_i\}$:

$[i<j]+[i=j]+[i>j]=1$ ,

$\sum _{i,j}{a}_i{a}_j[i<j]+\sum _{i,j}{a}_i{a}_j[i=j]+\sum _{i,j}{a}_i{a}_j[i>j]=\sum _{i,j}{a}_i{a}_j$ ,

$S+\sum _i{a}_i^2+S=(\sum _i{a}_i{)}^2$ ,

а оскільки для правої частини:

$\sum _{i,j}{a}_i{a}_j=\sum _i\sum _j{a}_i{a}_j=\sum _i{a}_i\sum _j{a}_j=(\sum _i{a}_i{)}^2$ ,

то:

$S=\sum _{1\le i<j\le n}{a}_i{a}_j=\frac{1}{2}(\sum _{i=1}^n{a}_i{)}^2-\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n{a}_i^2$ .

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга