Двостороннє перетворення Лапласа

Двостороннє перетворення Лапласа - інтегральне перетворення, тісно пов'язане з перетворенням Фур'є, перетворенням Мелліна, а також зі звичайним і одностороннім перетворенням Лапласа.

Визначення

Якщо $f(t)$ є дійсною або комплексною функцією дійсної змінної $t\in ℝ$, то двостороннє перетворення Лапласа $ℬ\{f(t)\}$ задається формулою

$ℬ\{f(t)\}=F(s)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt.$

Інтеграл у цьому визначенні мається на увазі невласним і збіжним тоді, коли існують $\{\begin{array}{c}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt\\ \\ \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt\end{array}$

Іноді двосторонні перетворення записують у вигляді

$𝒯\{f(t)\}=sℬ\left\{f\right\}=sF(s)=s\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt.$

Загалом, змінна $t$ може бути як дійсною, так і комплексною величиною.

Зв'язок з іншими інтегральними перетвореннями

• Якщо $u(t)$ - функція Гевісайда, то звичайне перетворення Лапласа $ℒ$ можна виразити через двостороннє формулою

$ℒ\{f(t)\}=ℬ\{f(t)u(t)\}.$

І навпаки: з двостороннього перетворення можна отримати звичайне за формулою

$\left\{ℬf\right\}(s)=\{ℒf(t)\}(s)+\{ℒf(-t)\}(-s).$

• Перетворення Мелліна можна виразити через двостороннє перетворення Лапласа формулою

$\left\{ℳf\right\}(s)=\{ℬf(e^{-x})\}(s)$

І навпаки: з двостороннього перетворення можна отримати перетворення Мелліна за формулою

$\left\{ℬf\right\}(s)=\{ℳf(-\ln x)\}(s).$

• Перетворення Фур'є можна визначити через двостороннє перетворення Лапласа формулою

$\left\{ℬf\right\}(s)=\left\{ℱf\right\}(-is).$

Властивості

Властивості перетворень Лапласа

	Часова область	Одностороння область	Двостороння область
Перша похідна	$f^{\prime }(t)$	$sF(s)-f(0)$	$sF(s)$
Друга похідна	$f^{″}(t)$	$s^{2}F(s)-sf(0)-f^{\prime }(0)$	$s^{2}F(s)$

Література

• Шаблон:Нп, Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers, Dover Publications, 1980
• van der Pol, Balthasar, and Bremmer, H., Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral, Chelsea Pub. Co., 3rd edition, 1987