Перетворення Мелліна

Перетворення Мелліна — інтегральне перетворення, яке можна розглядати як мультиплікативну версію двостороннього перетворення Лапласа. Це інтегральне перетворення тісно пов'язане з теорією рядів Діріхле і часто використовується в теорії чисел і в теорії асимптотичних розкладів. Перетворення Мелліна тісно пов'язане з перетворенням Лапласа і перетворенням Фур'є, а також теорією гамма-функцій і теорією суміжних спеціальних функцій.

Перетворення названо на честь фінського математика Ялмара Мелліна.

Визначення

Пряме перетворення Мелліна задається формулою:

$\left\{ℳf\right\}(s)=\phi (s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s-1}f(x)dx$.

Обернене перетворення — формулою:

$\left\{{ℳ}^{-1}\phi \right\}(x)=f(x)=\frac{1}{2\pi i}\underset{c-i\mathrm{\infty }}{\overset{c+i\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{-s}\phi (s)ds$.

Передбачається, що інтегрування відбувається в комплексній площині. Умови, при яких можна робити перетворення, збігаються з умовами теореми оберненого перетворення Мелліна.

Зв'язок з іншими перетвореннями

Двосторонній інтеграл Лапласа може бути виражений через перетворення Мелліна:

$\left\{ℬf\right\}(s)=\{ℳf(-\ln x)\}(s)$.

І навпаки: перетворення Мелліна виражається через двостороннє перетворення Лапласа формулою:

$\left\{ℳf\right\}(s)=\{ℬf(e^{-x})\}(s).$

Перетворення Фур'є може бути виражено через перетворення Мелліна формулою:

$\left\{ℱf\right\}(-s)=\left\{ℬf\right\}(-is)=\{ℳf(-\ln x)\}(-is)$.

Навпаки:

$\left\{ℳf\right\}(s)=\{ℬf(e^{-x})\}(s)=\{ℱf(e^{-x})\}(is)$.

Перетворення Мелліна також пов'язує інтерполяційні формули Ньютона або біноміальні перетворення з твірною функцією послідовності за допомогою циклу Пуассона — Мелліна — Ньютона.

Приклади

Інтеграл Каена — Мелліна

Якщо:

• $c>0,$
• $\mathrm{\Re }(y)>0,$
• $y^{-s}$ де функція визначена за допомогою головної гілки логарифму,

то

$e^{-y}=\frac{1}{2\pi i}\underset{ci\mathrm{\infty }}{\overset{c+i\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{\Gamma }(s)y^{-s}ds$,

де

$\mathrm{\Gamma }(s)$ — гамма-функція.

Названий на честь Ялмара Мелліна і французького математика Ежена Каена.

Перетворення Мелліна для просторів Лебега

В гільбертовому просторі перетворення Мелліна можна задати трохи інакше. Для простору $L^2(0,\mathrm{\infty })$ будь-яка фундаментальна смуга включає в себе $\frac{1}{2}+iℝ$. У зв'язку з цим можна задати лінійний оператор $\widetilde{ℳ}$ як:

$\widetilde{ℳ}:L^2(0,\mathrm{\infty })\to L^2(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }),\{\widetilde{ℳ}f\}(s):=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{-\frac{1}{2}+is}f(x)dx$.

Тобто:

$\{\widetilde{ℳ}f\}(s):=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\{ℳf\}(\frac{1}{2}-is)$.

Зазвичай цей оператор позначається $ℳ$ і називається перетворенням Мелліна, але тут і надалі ми будемо використовувати позначення $\widetilde{ℳ}$.

Теорема про обернене перетворення Мелліна показує, що

${\widetilde{ℳ}}^{-1}:L^2(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })\to L^2(0,\mathrm{\infty }),\{{\widetilde{ℳ}}^{-1}\phi \}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{-\frac{1}{2}-is}\phi (s)ds.$

Крім того, цей оператор є ізометричним, тобто

$\Vert \widetilde{ℳ}f{\Vert }_{L^2(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })}=\Vert f{\Vert }_{L^2(0,\mathrm{\infty })}$ для $\mathrm{\forall }f\in L^2(0,\mathrm{\infty })$.

Це пояснює коефіцієнт $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$

Зв'язок з теорією ймовірностей

У теорії ймовірностей перетворення Мелліна є важливим інструментом для вивчення розподілу випадкових величин

Якщо:

• $D=\{s:a⩽\mathrm{\Re }(s)⩽b\},$
• $a⩽0⩽b,$
• $X$ — випадкова величина,
• $X^{+}=\max \{X,0\},$
• $X^{-}=\max \{-X,0\},$

то перетворення Мелліна задається як:

${ℳ}_X(s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s}d{F}_{X^{+}}(x)+i\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s}d{F}_{X^{-}}(x),$

де $i$ — уявна одиниця.

Перетворення Мелліна ${ℳ}_X(it)$ випадкової величини $X$ однозначно визначає її функцію розподілу $F_x$.

Застосування

Перетворення Мелліна є важливим для інформаційних технологій, особливо для розпізнавання образів.

Таблиця перетворень Мелліна

$f(t)|t>0$	$F(s)$	$S(s)$
$e^{-at}$	$a^{-s}\cdot \mathrm{\Gamma }(s)$	$\mathrm{\Re }\{s\}>0$
$u(t-a)\cdot t^b$	$-\frac{a^{s+b}}{s+b}$	$\mathrm{\Re }\{s\}<-\mathrm{\Re }\{b\}$
$u(a-t)\cdot t^b$	$\frac{a^{s+b}}{s+b}$	$\mathrm{\Re }\{s\}<-\mathrm{\Re }\{b\}$
$[\frac{}{}u(t-a)-u(t)]\cdot t^b$	$-\frac{a^{s+b}}{s+b}$	$\mathrm{\Re }\{-s\}>-\mathrm{\Re }\{b\}$
$\frac{1}{1+t}$	$\frac{\pi }{\sin (\pi s)}$	$0<\mathrm{\Re }\{s\}<1$
$\frac{1}{(1+t{)}^b}$	$\frac{\mathrm{\Gamma }(s)\cdot \mathrm{\Gamma }(b-s)}{\mathrm{\Gamma }(b)}$	$0<\mathrm{\Re }\{s\}<\mathrm{\Re }\{b\}$
$\frac{1}{1-t}$	$\pi \cot (\pi s)$	$0<\mathrm{\Re }\{s\}<1$
$\frac{1}{1+t^2}$	$\frac{\pi }{2\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)}$	${\displaystyle }$
$u(1-t)\cdot (1-t{)}^{z-1}$	$\frac{\mathrm{\Gamma }(s)\cdot \mathrm{\Gamma }(z)}{\mathrm{\Gamma }(s+z)}$	$\mathrm{\Re }\{s\}>0$
$u(t-1)\cdot (t-1{)}^{-w}$	$\frac{\mathrm{\Gamma }(w-s)\cdot \mathrm{\Gamma }(1-w)}{\mathrm{\Gamma }(1-s)}$	$\mathrm{\Re }\{s\}<\mathrm{\Re }\{w\}$
$\sin (t)$	$\mathrm{\Gamma }(s)\cdot \sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)$	$-1<\mathrm{\Re }\{s\}<1$
$\cos (t)$	$\mathrm{\Gamma }(s)\cdot \cos \left(\frac{\pi s}{2}\right)$	$0<\mathrm{\Re }\{s\}<1$
$u(t-1)\cdot \sin (\frac{}{}z\ln (t))$	$\frac{z}{s^2+z^2}$	$\mathrm{\Re }\{s\}<-|\frac{}{}\mathrm{\Im }\{z\}|$
$u(1-t)\cdot \sin (\frac{}{}-z\ln (t))$	$\frac{z}{s^2+z^2}$	$\mathrm{\Re }\{s\}>|\frac{}{}\mathrm{\Im }\{z\}|$
$[u(t)-u(t-a)]\cdot \ln \left(\frac{a}{t}\right)$	$\frac{a^s}{s^2}$	$\mathrm{\Re }\{s\}>0$
$\ln (t+1)$	$\frac{\pi }{s\cdot \sin (\pi s)}$	$-1<\mathrm{\Re }\{s\}<0$
$u(b-t)\cdot \ln (b-t)$	$-\frac{b^s}{s}\cdot [\mathrm{\Psi }(s+1)+\frac{\ln \gamma }{b}]$	$\mathrm{\Re }\{s\}>0$
$\frac{\ln (t+1)}{t}$	$\frac{\pi }{(1-s)\cdot \sin (\pi s)}$	$-1<\mathrm{\Re }\{s\}<0$
$\ln \left|\frac{1+t}{1-t}\right|$	$\frac{\pi }{s}\cdot \tan (\pi s)$	$-1<\mathrm{\Re }\{s\}<1$
$\frac{1}{e^t-1}$	$\mathrm{\Gamma }(s)\cdot \zeta (s)$	$\mathrm{\Re }\{s\}>1$
$\frac{1}{t}\cdot e^{-\frac{1}{t}}$	$\mathrm{\Gamma }(1-s)$	$-\mathrm{\infty }<\mathrm{\Re }\{s\}<1$
$e^{-x^2}$	$\frac{1}{2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right)$	$0<\mathrm{\Re }\{s\}<1$
$e^{ibt}$	$b^{-s}\cdot \mathrm{\Gamma }(s)\cdot e^{\frac{i\pi s}{2}}$	$0<\mathrm{\Re }\{s\}<1$
$\delta (t-a)$	$a^{s-1}$	$𝒞$
$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-an)$	$a^{s-1}\cdot \zeta (1-s)$	$\mathrm{\Re }\{s\}<0$
$t^b$	$\delta (b+s)$	$\mathrm{\varnothing }$
де: $u(t)$ є функцією Гевісайда $\delta (x)$ є є дельта-функцією Дірака $\mathrm{\Psi }(x)$ є Дигамма-функція $\zeta (x)$ — дзета-функція Рімана $a,b\in ℝ|a>0$ $z,w\in ℂ|\mathrm{\Re }\{z\}>0\wedge \mathrm{\Re }\{w\}<1$ $\gamma$ — константа Ейлера $S(s)$ — область визначення функції $F(s).$

Література

• Шаблон:Ouvrage
• Шаблон:Ouvrage