Ряд Діріхле

Рядом Діріхле називається ряд виду

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^s},$

де s і a_n — комплексні числа, n = 1, 2, 3, … .

Абсцисою збіжності ряду Діріхле називається таке число ${\sigma }_c$, що при $\mathrm{Re}s>{\sigma }_c$ цей ряд збігається; абсцисою абсолютної збіжності називається таке число ${\sigma }_a$, що при $\mathrm{Re}s>{\sigma }_a$ ряд абсолютно збіжним. Для будь-якого ряду Діріхле справедливе співвідношення $0⩽{\sigma }_a-{\sigma }_c⩽1$ (якщо ${\sigma }_c$ і ${\sigma }_a$ скінченні).

Цей ряд відіграє значну роль в теорії чисел. Найпоширенішим прикладом ряду Діріхле є дзета-функція Рімана, а також L-функція Діріхле.

Ряд названий на честь Густава Діріхле.

Приклади

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s},$

Де ζ(s) — дзета-функція Рімана.

$\frac{1}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n^s}$

де μ(n) — функція Мебіуса.

$\frac{1}{L(\chi ,s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)\chi (n)}{n^s}$

де L(χ,s) — L-функція Діріхле.

Похідні

Нехай

$F(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(n)}{n^s}$

Тоді можна довести

$F^{\prime }(s)=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(n)\log (n)}{n^s}$

у випадку збіжності правої сторони. Для цілком мультиплікативної функції ƒ(n), у випадку збіжності для Re s > σ₀, тоді

$\frac{F^{\prime }(s)}{F(s)}=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(n)\mathrm{\Lambda }(n)}{n^s}$

збігається для Re s > σ₀. В даній формулі $\mathrm{\Lambda }(n)$ позначає функцію фон Мангольдта.

Добуток рядів

Нехай маємо ряди

$F(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)n^{-s}$

і

$G(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}g(n)n^{-s}.$

Якщо F(s) і G(s) є абсолютно збіжними для s > a і s > b відповідно, тоді:

$\frac{1}{2T}\underset{-T}{\overset{T}{\int }}F(a+it)G(b-it)dt=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)g(n)n^{-a-b}\text{ as }T\sim \mathrm{\infty }.$

Якщо a = b і ƒ(n) = g(n) то

$\frac{1}{2T}\underset{-T}{\overset{T}{\int }}|F(a+it){|}^{2}dt=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[f(n){]}^2{n}^{-2a}\text{ as }T\sim \mathrm{\infty }.$

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь Діріхле

Література

• Мандельбройт С. Ряды Дирихле. — М.: Мир, 1973
• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Tom M. Apostol. Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory. — New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1989. ISBN 978-0-387-97127-8