Функція фон Мангольдта

Функція фон Мангольдта — арифметична функція, що визначається рівністю:

$\mathrm{\Lambda }(n)=\{\begin{array}{cc}\log p& n=p^{k}k\ge 1,\\ 0& n\ne p^k\end{array}$

де p — просте число. Тобто значення функції є ненульовим лише для степенів простих чисел де значення функції рівне логарифму з відповідного простого числа.

Властивості

Функція фон Мангольдта задовольняє властивості:

$\log n=\sum _{d\mid n}\mathrm{\Lambda }(d),$

$\mathrm{\Lambda }(n)=\sum _{d\mid n}\mu \log \frac{n}{d}$

$\sum _{d|n}\mu (d)\log d=-\mathrm{\Lambda }(n)$

$\sum _{d|n}\mu \left(\frac{n}{d}\right)\mathrm{\Lambda }(d)=-\mu (n)\log n$

де $\mu$ — функція Мебіуса.

де сума береться по всіх дільниках d числа n.

exp(Λ(n)) можна явно визначити:

$e^{\mathrm{\Lambda }(n)}=\frac{\mathrm{LCM}(1,2,3,...,n)}{\mathrm{LCM}(1,2,3,...,n-1)}$

де $\mathrm{L}\mathrm{C}\mathrm{M}$ позначає найменше спільне кратне.

Значення exp(Λ(n)) для перших натуральних чисел рівне:

1, 2, 3, 2, 5, 1, 7, 2, 3, 1, 11, 1, 13, 1, 1, 2, 17, 1, 19, 1, 1, 1, ... (Шаблон:OEIS)

Функція фон Мангольдта тісно пов'язана з дзета-функцією Рімана 'Q(s). Зокрема виконується рівність:

$\log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Lambda }(n)}{\log (n)}\frac{1}{n^s}$

для $\mathrm{\Re }(s)>1$.

Тоді логарифмічна похідна рівна:

$\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Lambda }(n)}{n^s}.$

Посилання

• Шаблон:MathWorld

Джерела

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3
• G.H. Hardy and J.E. Littlewood, Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes, Acta Mathematica, 41(1916)pp.119-196