Визначник Вронського

Шаблон:Диференціальні рівняння Визна́чник Вронського (Вронськіан) — визначник, складений із функцій та похідних. Використовується в теорії диференціальних рівнянь.

Для Шаблон:Math функцій визначник Вронського будується з використанням похідних до Шаблон:Math порядку:

$W[f_1(x),f_2(x),...,f_n(x)]=\left|\begin{array}{cccc}{f}_1(x)& f_2(x)& \cdots & f_n(x)\\ {f_1}^{\prime }(x)& {f_2}^{\prime }(x)& \cdots & {f_n}^{\prime }(x)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ f_1^{(n-1)}(x)& f_2^{(n-1)}(x)& \cdots & f_n^{(n-1)}(x)\end{array}\right|.$

Для лінійно залежних функцій визначник Вронського дорівнює нулю.

Для лінійного диференційного рівняння другого порядку

Для однорідного лінійного диференційного рівняння другого порядку у формі

$y^{″}+g(x)y^{\prime }+h(x)y=0$

визначник Вронського, складений із лінійно незалежних розв'язків рівняння визначається функцією g(x).

Нехай $y_1(x)$ та $y_2(x)$ - два лінійно незалежні розв'яки, тобто

${y_1}^{″}+g(x){y_1}^{\prime }+h(x)y_1=0$

${y_2}^{″}+g(x){y_2}^{\prime }+h(x)y_2=0$

Домножаючи перше рівняння на $y_2(x)$ а друге на $y_1(x)$ і віднімаючи отримуємо

$W^{\prime }+g(x)W=0$

або

$W=C{e}^{-\int g(x)dx}$.

Цю властивість можна використати для знаходження другого лінійно незалежного розв'язку рівняння, якщо один вже відомий. Рівняння для другого розв'язку є рівнянням першого, а не другого порядку.

Також з цього видно, що визначник Вронського або ніколи не нуль, або ідентичний нулю.

Приклади

• Переконаємося, що вронскіан лінійно-залежних функцій $1,x^2,3+2x^2$ дорівнює нулю:

$W(f_1,f_2,f_3)(x)=\left|\begin{array}{ccc}1& x^2& 3+2x^2\\ 0& 2x& 4x\\ 0& 2& 4\end{array}\right|=8x-8x=0,x\in ℝ.$

• Перевіримо тепер лінійну незалежність функцій $1,x,x^3$

$W(f_1,f_2,f_3)(x)=\left|\begin{array}{ccc}1& x& x^3\\ 0& 1& 3x^2\\ 0& 0& 6x\end{array}\right|=6x,x\in ℝ.$

Є точки, де вронскіан відмінний від нуля (у нашому випадку це будь-яка точка, крім x = 0). Тому на будь-якому проміжку ці функції будуть лінійно незалежними.

• Наведемо тепер приклад, коли вронскіан всюди дорівнює нулю, але функції все одно лінійно незалежні. Задамо дві функції:

$f_1(x)=x^2;f_2(x)=\{\begin{array}{cc}-x^2,& x<0,\\ x^2,& x⩾0.\end{array}$

Обидві функції всюди диференційовних (у тому числі в нулі, де похідні обох функцій звертаються в нуль). Переконаємося, що вронськіан всюди нуль.

$W(f_1,f_2)(x)=\{\begin{array}{cc}\left|\begin{array}{cc}{x}^2& -x^2\\ 2x& -2x\end{array}\right|=0,& x<0,\\ \left|\begin{array}{cc}{x}^2& x^2\\ 2x& 2x\end{array}\right|=0,& x\ge 0\end{array}$

Проте ці функції, очевидно, є лінійно незалежними. Бачимо що рівність вронськіана нулю не тягне за собою лінійної залежності у випадку довільного вибору функцій.

Джерела

Романко В.К. Главы 5 и 6 // Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — 2-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. — С. 158-164, 174-177. — (Технический университет). — 3000 экз. — ISBN 5-93208-097-3

Посилання

• http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=2164 Шаблон:Webarchive
• http://tutorial.math.lamar.edu/classes/de/wronskian.aspx Шаблон:Webarchive
• http://mathworld.wolfram.com/Wronskian.html Шаблон:Webarchive