Централізатор

В абстрактній алгебрі централізатором підмножини $U$ групи $G$ називається множина елементів $G$ , які комутують з кожним елементом $U$ . Дане означення також може бути застосоване для інших алгебричних структур, зокрема моноїдів, напівгруп, кілець, алгебр Лі і т. д.

Означення

Групи і напівгрупи

Централізатором елемента $x$ групи (або напівгрупи) $G$ називається множина Шаблон:Sfn

Z_{G} (x) : = {g \in G ∣ g x = x g}

.

Для деякої підмножини $U$ групи (або напівгрупи) $G$ подібним чином можна ввести означення централізатора множини

Z_{G} (U) : = {g \in G ∣ g u = u g \forall u \in U} = ⋂_{u \in U} Z_{G} (u)

.

Кільця, алгебри, кільця і алгебри Лі

Якщо $R$ — кільце або алгебра, а $U$ — підмножина кільця, то централізатором $U$ називається множина, що є централізатором мультиплікативної напівгрупи кільця.

Якщо $𝔏$ — алгебра Лі (або кільце Лі) з добутком Лі [x, y], то централізатор підмножини $U$ алгебри $𝔏$ рівний Шаблон:Sfn

Z_{𝔏} (U) = {x \in 𝔏 ∣ [x, u] = 0

для всіх

u \in U}

Означення централізаторів для кілець Лі пов'язане з означенням для кілець наступним чином. Якщо $R$ — асоціативне кільце, то для $R$ можна задати добуток [x, y] = xy — yx. Природно, xy = yx тоді і тільки тоді, коли [x, y] = 0. Якщо ми позначимо множину $R$ із цим добутком як $𝔏_{R}$ , то централізатор кільця $U$ у $R$ збігається з централізатором кільця Лі множини $U$ в $𝔏_{R}$ .

Властивості

Напівгрупи

Нехай $U^{'}$ позначає централізатор множини $U$ у деякій напівгрупі. Тоді :

$U^{'}$ утворює піднапівгрупуу. Якщо напівгрупа є моноїдом, то централізатор є підмоноїдом.
$U^{'} = U^{‴} = U^{'''''}$ .

Групи Шаблон:Sfn

Централізатор довільної підмножини є підгрупою $G$ .

Із рівності

1 x = x = x 1

для всіх елементів групи

G

випливає, що одиниця є елементом централізатора для довільної підмножини. Нехай

g, h \in Z_{G} (U)

, тоді

g h x = g x h = x g h, \forall x \in U

, тому

g h \in Z_{G} (U)

. Нарешті домноживши рівність

g x = x g

де

x \in U

зліва і справа на

g^{- 1}

отримаємо рівність

x g^{- 1} = g^{- 1} x

і тому

g^{- 1} \in Z_{G} (U)

.

Централізатор $Z_{G} (U)$ завжди є нормальною підгрупою нормалізатора $N_{G} (U)$ .

Централізатор очевидно є підгрупою нормалізатора. Нехай тепер

x \in U, f \in Z_{G} (U) g \in N_{G} (U)

. Тоді

g f g^{- 1} x = g f y g^{- 1} = g y f g^{- 1} = x g f g^{- 1}

, де

y \in U

— такий елемент, що

x g = y g

і відповідно

g^{- 1} x = y g^{- 1}

(існування такого елемента випливає з означення нормалізатора). З одержаної рівності отримуємо

g f g^{- 1} \in Z_{G} (U)

, що завершує доведення.

$Z_{G} (Z_{G} (U))$ завжди містить множину $U$ , проте $Z_{G} (U)$ не обов'язково містить $U$ . Ця властивість має місце лише якщо st = ts для будь-яких $U$ і t з множини $U$ , зокрема якщо $U$ є абелевою підгрупою у $G$ .
Централізатор $Z_{G} (U)$ підмножини $U$ є рівним централізатору підгрупи, породженої цією множиною.
Для довільного елемента групи $Z_{G} (x^{- 1}) = Z_{G} (x)$
Для довільного елемента групи $Z_{G} (x) = N_{G} (x)$ .
З принципу симетрії, якщо $U$ і $V$ є двома підмножинами у $G$ , тоді $V \subseteq Z_{G} (U)$ в тому і тільки в тому випадку, коли $U \subseteq Z_{G} (V)$ .
Для підгрупи $H$ групи $G$ фактор-група $N_{G} (H) / Z_{G} (H)$ є ізоморфною підгрупі $Aut (H)$ , групі автоморфізмів групи $H$ .
Якщо задати гомоморфізм груп $T : G \to Inn (G)$ , як $T (x) (G) = T_{x} (G) = x g x^{- 1}$ , то можна описати $Z_{G} (U)$ в термінах дії групи $Inn (G)$ на $G$ : підгрупа $Inn (G)$ , яка фіксує усі елементи $U$ є рівною $T (Z_{G} (U))$ .
Нехай $G_{1}$ і $G_{2}$ є групами, $H$ — підгрупа $G_{1}$ і $f$ — гомоморфізм з $G_{1}$ у $G_{2}$ . Тоді $f (Z_{G_{1}} (H)) \subseteq Z_{G_{2}} (f (H))$ .
Якщо також $f$ є ізоморфізмом то $f (Z_{G_{1}} (H)) = Z_{G_{2}} (f (H))$ .
Якщо $H$ є характеристичною підгрупою групи $G$ то і $Z_{G} (H)$ є характеристичною підгрупою.
Якщо $H$ є нормальною підгрупою групи $G$ то і $Z_{G} (H)$ є нормальною підгрупою.

Кільця і алгебри Лі Шаблон:Sfn

Централізатори в кільцях і алгебрах є підкільцями і підалгебри, відповідно. Централізатори в кільцях Лі і алгебрах Лі є підкільцями Лі і підалгебрами Лі, відповідно.
Нормалізатор $U$ в кільці Лі містить централізатор $U$ .
$Z_{R} (Z_{R} (U))$ містить множину $U$ , але не обов'язково збігається з нею.

Примітки

Шаблон:Reflist

Див. також

Література

Централізатор

Зміст

Означення

Властивості

Примітки

Див. також

Література

Навігаційне меню

Централізатор

Означення

Властивості

Примітки

Див. також

Література

Навігаційне меню

Пошук