Нормальна підгрупа

Шаблон:Теорія груп Нормальна підгрупа (інваріантна підгрупа) — це особлива підгрупа, в яких лівий і правий клас суміжності збігаються. Інваріантні підгрупи дозволяють будувати фактор-групу по заданій групі.

Визначення

Підгрупа $N$ групи $G$ називається нормальною, якщо вона інваріантна відносно спряження, тобто:

$N◃G⟺\mathrm{\forall }n\in N,g\in G:gn{g}^{-1}\in N.$

Наступні умови нормальності підгрупи є еквівалентними:

1. $\mathrm{\forall }g\in G:gN{g}^{-1}\subseteq N$
2. $\mathrm{\forall }g\in G:gN{g}^{-1}=N$
3. Множини лівих і правих суміжних класів $N$ в $G$ збігаються.
4. $\mathrm{\forall }g\in G:gN=Ng$.

Умова (1) слабша, чим (2), а умова (3) слабша, ніж (4). Тому умови (1) та (3) часто використовують при доведенні нормальності підгрупи.

Приклади

• $\{e\}$ та $G$ — завжди нормальні підгрупи $G$. Вони називаються тривіальними. Якщо інших нормальних підгруп немає, то група $G$ називається простою.

• Центр групи — нормальна підгрупа.

• Комутант групи — нормальна підгрупа.

• Довільна характеристична підгрупа є нормальною, бо її спряження завжди є автоморфізмом.

• Всі підгрупи $N$ абелевої групи $G$ нормальні, тому що $gN=Ng$. Неабелева група, в якої всі підгрупи нормальні називається гамільтоновою.

Властивості

• Нормальність зберігається при епіморфізмах (сюр'єктивних гомоморфізмах) і взятті обернених образів.
• Нормальність зберігається при побудові прямого добутку.
• Нормальна підгрупа нормальної підгрупи не обов'язково є нормальною в групі, тобто нормальність не транзитивна. Але характеристична підгрупа нормальної підгрупи є нормальною.

Наприклад, діедральна група $D_4=⟨r,f|f^2=1,r^4=1,fr=r^{-1}f⟩.$

Підгрупа $H=⟨rf,fr⟩=\{1,rf,r^2,fr\}\simeq C_2\times C_2$ ізоморфна групі Клейна і $H◃G.$

І далі, $K=⟨rf⟩=\{1,rf\}◃H,$ але $K$ не нормальна в $G,$ оскільки $f\cdot rf\cdot f^{-1}=f\cdot rf\cdot f=fr\notin K.$

• Кожна підгрупа індексу 2 є нормальною. Якщо $p$ — найменший простий дільник порядку $G$, то довільна підгрупа індекса $p$ нормальна.
• Якщо $N$ — нормальна підгрупа в $G$, то на множині лівих (правих) суміжних класів $G/N$ можна ввести групову структуру за правилом

$(g_{1}N)(g_{2}N)=(g_1{g}_2)N$

Отримана множина називається фактор-групою $G$ за $N$.

• $N$ нормальна тоді і тільки тоді, коли вона тривіально діє на лівих суміжних класах $G/N$.
• Нормальні підгрупи групи G утворюють ґратку відносно операції включення з найменшим елементом {e} та найбільшим елементом G. Ґратка є повною та модулярною.

Історичні факти

Еварист Галуа перший зрозумів важливість нормальних підгруп.

Див. також

• Норма (теорія груп)
• Квазінормальна підгрупа

Джерела

Українською

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Cite book

Іншими мовами

• Шаблон:Курош.Теорія груп
• Шаблон:Винберг.Курс алгебры
• Шаблон:Rotman.An Introduction to the Theory of Groups