Центр групи

Шаблон:Теорія груп В абстрактній алгебрі центром групи G (позначається Z(G)) називають множину елементів, що комутують з усіма елементами групи G, тобто:

$Z(G)=\{z\in G\mid zg=gz,\mathrm{\forall }g\in G\}$.

Очевидно, що група буде абелевою (комутативною) тоді і тільки тоді, коли Z(G) = G. З іншої сторони, якщо центр групи містить лишень нейтральний елемент, то група називається групою без центру.

Властивості

• Z(G) є підгрупою групи G:

Нейтральний елемент належить центру, $e\in Z(G),$ оскільки $eg=g=ge,\mathrm{\forall }g\in G$;

Добуток двох елементів з центра належить центру. Якщо $x,y\in Z(G)$ тоді $(xy)g=x(yg)=x(gy)=(xg)y=(gx)y=g(xy),\mathrm{\forall }g\in G$, отже $xy\in Z(G)$;

Обернений до елемента центра належить центру. Якщо $e\in Z(G),$ то gx = xg. Домноживши обидві сторони рівності зліва і справа на x⁻¹ одержимо x⁻¹g = gx⁻¹, звідки $x^{-1}\in Z(G).$

• Підгрупа $Z(G)$ є абелевою і нормальною.

• Фактор-група $G/Z(G)$ ізоморфна групі внутрішніх автоморфізмів групи G, тобто групі відображень:${\varphi }_g(h)=gh{g}^{-1}$

Дійсно функцію f: G → Aut(G) можна задати наступним чином: f(g) = φ_g. Очевидно, що дане відображення є гомоморфізмом груп. Якщо $g\in Z(G),$ то ${\varphi }_g(h)=gh{g}^{-1}=hg{g}^{-1}=h,\mathrm{\forall }h\in G$ тобто центр групи є підмножиною ядра гомоморфізму. З іншого боку елементи групи, що не належать центру не є ядром оскільки тоді $\mathrm{\exists }h\in G,$ що ${\varphi }_g(h)=gh{g}^{-1}\ne hg{g}^{-1}=h$ тобто образом відображення не є одиничний автоморфізм. Остаточно з теореми про ізоморфізм груп маємо:

$G/Z(G)\cong \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{(}\mathrm{G}\mathrm{)}\mathrm{.}$

• Якщо фактор-група $G/Z(G)$ циклічна, то G  — абелева.

Дійсно, згідно з означенням циклічної групи маємо, що для деякого $g\in Z(G)$ виконується рівність $G/Z(G)=⟨gZ(G)⟩$ тому $G=Z(G)⟨g.⟩$ Зважаючи, що група $⟨g⟩$ є абелева маємо, що будь-які елементи групи G комутують.

Приклади

• Центром групи квадратних матриць розміру n над полем F з ненульовим визначником є множина скалярних матриць: $\{s{I}_n|s\in F\setminus \{0\}\}.$
• Групи перестановок (симетричні групи) S_n для n ≥ 3 є групами без центру.
• Групи парних перестановок (знакозмінні групи) A_n для n ≥ 4 є групами без центру.
• Прості неабелеві групи є групами без центру.

Дійсно за означенням єдиними нормальними підгрупами даних груп є тривіальні групи і самі ці групи. Зважаючи, що центр є нормальною підгрупою і група некомутативна маємо, що центр рівний тривіальній групі.

Центри вищих порядків

Визначимо послідовність підгруп:

$G_0=G,G_1=G_0/Z(G_0),G_2=G_1/Z(G_1)\cdots$

Ядро відображення $G\to G_i$ називається i-тим центром групи G і позначається $Z^i(G)$. Послідовність:

$1\le Z(G)\le Z^2(G)\le \cdots$

стабілізується ($Z^i(G)=Z^{i+1}(G)$)тоді й лише тоді коли $G_i$ є групою без центру.

Див. також

• Норма (теорія груп)

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Курош.Теорія груп
• Шаблон:Винберг.Курс алгебры