Фактор-група

Шаблон:Теорія груп Фактор-група — в теорії груп, група класів еквівалентності відносно деякого відношення еквівалентності. Тобто, фактор-множина, що має властивості групи.

Визначення

Нехай $G$ — група, і $H$ — її нормальна підгрупа, тобто для довільного $a\in G$ його класи суміжності збігаються:

$aH=Ha$

Тоді на класах суміжності $H$ в $G$ можна ввести множення:

$(aH)(bH)=abH$

Легко перевірити, що це множення не залежить від вибору елементів у класах суміжності, тобто якщо $aH=a^{\prime }H$ і $bH=b^{\prime }H$, то $abH=a^{\prime }{b}^{\prime }H$. Воно визначає структуру групи на множині класів суміжності, а одержана група називається фактор-групою $G$ по $H$.

Фактор-група позначається $G/H$.

Властивості

• Теорема про гомоморфізм: Для довільного гомоморфізму $\phi :G\to K$

$G/\mathrm{K}er\phi \cong \phi (G)$,

тобто фактор-група $G$ за ядром $\mathrm{K}er\phi$ ізоморфна її образу $\phi (G)$ в $K$.

• Відображення $a\mapsto aH$ задає природний гомоморфізм $G\to G/H$.
• Порядок $G/H$ рівний індексу підгрупи $[G:H]$. У випадку скінченної групи $G$ він рівний $|G|/|H|$.
• Якщо $G$ абелева, нільпотентна, циклічна або скінченнопороджена, то і $G/H$ буде мати такі ж властивості.
• $G/G$ ізоморфна тривіальній групі ($\{e\}$), $G/e$ ізоморфна $G$.

Приклади

• Нехай $G=\mathbb{Z},H=2\mathbb{Z}$, тоді $G/H$ ізоморфна ${\mathbb{Z}}_2$.
• Нехай $G={𝐔𝐓}_n$ група невироджених верхньотрикутних матриць, $H={𝐒𝐔𝐓}_n$ група верхніх унітрикутних матриць, тоді $G/H$ ізоморфна групі діагональних матриць.

Див. також

• Теорема про гомоморфізми
• Теореми про ізоморфізми
• Фактор-кільце
• Фактор-простір

Література

Українською

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Іншими мовами

• Шаблон:Курош.Теорія груп
• Шаблон:Винберг.Курс алгебры
• Шаблон:Rotman.An Introduction to the Theory of Groups