Діагональна матриця

Діагональна матриця — квадратна матриця, всі недіагональні елементи якої дорівнюють нулю.

Більш формально, діагональною називають таку матрицю $A$ , що $\forall i \neq j : a_{i j} = 0$ .

Можна також записати

a_{i j} = a_{i} δ_{i j}

,

Одинична матриця діагональна за визначенням.

Властивості

Сума, добуток та обернена матриця(якщо існує) діагональних матриць є діагональною матрицею. Діагональні матриці утворюють підкільце в кільці симетричних матриць:
- $d i a g (a_{1}, \dots, a_{n}) + d i a g (b_{1}, \dots, b_{n}) = d i a g (a_{1} + b_{1}, \dots, a_{n} + b_{n})$
- $d i a g (a_{1}, \dots, a_{n}) \cdot d i a g (b_{1}, \dots, b_{n}) = d i a g (a_{1} b_{1}, \dots, a_{n} b_{n})$
- $d i a g (a_{1}, \dots, a_{n})^{- 1} = d i a g (a_{1}^{- 1}, \dots, a_{n}^{- 1})$
Визначник діагональної матриці дорівнює добутку всіх елементів головної діагоналі.
В матриці $d i a g (a_{1}, \dots, a_{n})$ власними значеннями є $a_{1}, \dots, a_{n}$ з власними векторами $e_{1}, \dots, e_{n}$ .
Достатньою умовою приведення матриці до діагонального вигляду є попарна відмінність всіх власних значень матриці.

Довільна квадратна матриця є подібною до діагональної матриці тоді і тільки тоді, коли в неї всі власні вектори лінійно незалежні. Такі матриці називають діагоналізовними.

Над полем дійсних чи комплексних чисел справедливі й такі твердження:

відповідно до спектральної теореми довільна нормальна матриця унітарно подібна до діагональної матриці

\forall A (A A^{*} = A^{*} A) \exists U (U^{*} = U^{- 1}) : U A U^{*} = D

відповідно до сингулярного представлення матриці для довільної матриці існують унітарні матриці U та V такі що матриця U*AV є діагональною з додатніми елементами

\forall A \exists U, V (U^{*} = U^{- 1}, V^{*} = V^{- 1}) : U^{*} A V = D, D > 0