Нормальна матриця

Квадратна матриця $A$ з комплексними елементами називається нормальною, якщо вона є переставною зі своєю спряженою матрицею:

$A^{*}A=A{A}^{*}.$

Розклад матриці за допомогою власних векторів

Матриця $A$ є нормальною тоді і тільки тоді, коли існує унітарна матриця $U$ та діагональна матриця $\mathrm{\Lambda }$, що виконується:

$A=U\mathrm{\Lambda }{U}^{*}.$

Ця формула називається розкладом матриці за її власними векторами, тому що для матриць $U$ та $\mathrm{\Lambda }$ справедливі такі властивості:

• $\mathrm{\Lambda }=diag({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots )$ — елементи на головній діагоналі є власними значеннями матриці $A.$
• Стовпці матриці $U$ є власними векторами матриці $A,$ розташовані відповідно до своїх власних значень.

Властивості

• Якщо $A$ — нормальна матриця, то в матриць $A,A^{*}$ власні вектори будуть однаковими, а власні значення — комплексно-спряженими:

$A=U\mathrm{\Lambda }{U}^{*}\Rightarrow A^{*}=U{\mathrm{\Lambda }}^{*}{U}^{*}.$

• Для довільної квадратної матриці $A$ існує полярний розклад $A=PU$.

Матриця $A$ буде нормальною тоді і тільки тоді, коли $P,U$ будуть переставними:

$A^{*}A=A{A}^{*}⟺PU=UP.$

• Довільну квадратну матрицю $A$ можна представити через дві ермітові матриці $A=H_1+i{H}_2$.

Матриця $A$ буде нормальною тоді і тільки тоді, коли матриці $H_1,H_2$ будуть переставними:

$A^{*}A=A{A}^{*}⟺H_1{H}_2=H_2{H}_1.$

• Нормальні матриці $A,B$ є переставними тоді і тільки тоді, коли всі їх власні вектори є спільними:

$AB=BA⟺\mathrm{\exists }U,{\mathrm{\Lambda }}_1,{\mathrm{\Lambda }}_2:A=U{\mathrm{\Lambda }}_1{U}^{*},B=U{\mathrm{\Lambda }}_2{U}^{*}.$

ця властивість узагальнюється на довільну кількість попарно-переставних нормальних матриць.

• Наслідок з попередньої властивості: якщо матриці $A,B$ є нормальними та переставними, тоді матриці:

$AB,A+B,kA$ — теж будуть нормальними та переставними.

Часткові випадки

Всі комплексні унітарні, ермітові косоермітові матриці є нормальними матрицями. Також всі дійсні ортогональні, симетричні кососиметричні матриці є нормальними матрицями.

Зв'язок з комплексними числами

Якщо вважати нормальні матриці узагальненням комплексних чисел, то в такому випадку:

• унітарні матриці є аналогом комплексних чисел рівних по модулю одиниці,
• ермітові матриці є аналогом дійсних чисел,
  • додатноозначені матриці є аналогом додатних чисел,
• антиермітові матриці — аналогом чисто уявних чисел.

Приклади

Матриця $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$ є нормальною, оскільки $A{A}^{*}=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)=A^{*}A.$

Але вона не є ні унітарною, ні ермітовою, ні косо-ермітовою.

Якщо матриця є трикутною і нормальною, тоді вона — діагональна.

Див. також

• Теорія матриць
• Комутатор (математика)

Джерела

• Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра
• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Ланкастер.Теорія матриць
• Шаблон:Хорн.Джонсон.Матричний аналіз