Комутант

Шаблон:Теорія груп Комутант групи (також похідна підгрупа) — підгрупа породжена усіма комутаторами групи. Комутант є найменшою нормальною підгрупою факторгрупа по якій є абелевою. Комутатор групи G, позначається [G,G].

Визначення

Комутатори

Комутатор елементів $g\in G$ і $h\in G$ — елемент $[g,h]$, що визначається за формулою:

$[g,h]=gh{g}^{-1}{h}^{-1}$.

Комутант групи

Множина комутаторів є замкнутою щодо взяття оберненого елемента, проте не обов'язково щодо множення. Тобто загалом вона не є підгрупою G. Підгрупа породжена комутаторами і називається комутантом групи [G,G].

$[G,G]=<\{[g,h]|(g,h)\in G^2\}>$

• Довільний елемент комутанта є добутком скінченної кількості комутантів групи G, тобто елементів виду:

$[g_1,h_1]\cdots [g_n,h_n]$

• Комутант є характеристичною і, відповідно, нормальною підгрупою.

Абелізація

Оскільки [G,G] є нормальною підгрупою групи G, можна визначити факторгрупу G по підгрупі [G,G]. Дана факторгрупа є абелевою і називається абелізацією групи G :

$Ab(G)=G^{ab}=G/[G,G]$

Якщо H — нормальна підгрупа G, і факторгрупа G/H є абелевою, то [G,G] є підгрупою H.

Похідні ряди

Конструкцію використану у визначенні комутанта можна далі використати ітеративно:

$G^{(0)}:=G$

$G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]n\in \mathbb{N}$

Групи $G^{(2)},G^{(3)},\dots$ називаються другою похідною підгрупою, третьою похідною підгрупою, і т. д., і спадний ряд нормальних підгруп:

$\cdots ◃G^{(2)}◃G^{(1)}◃G^{(0)}=G$

називається похідним рядом. Якщо для якогось натурального числа n виконується $G^{(n)}=\{e\},$ то група G називається розв'язною.

Властивості

• Комутант групи є характеристичною підгрупою, а будь-яка підгрупа, що містить комутант є нормальною.

Див. також

• Комутатор (математика)

Література

Українською

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Іншими мовами

• Шаблон:Курош.Теорія груп